（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十二）圆与方程 文（含解析）苏教版

课时跟踪检测（四十二）圆与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若圆的半径为3，圆心与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆的标准方程为________．答案：x2＋y2＝92．在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆O：x2＋y2＋2x＝0上任意一点，点Q(2a，a＋3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为________．解析：圆O：x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1，表示以(－1，0)为圆心、半径为1的圆，则点Q(2a，a＋3)到圆心(－1，0)的距离d＝2a＋2＋a＋2＝5a2＋10a＋10＝a＋2＋5，所以当a＝－1时，d取得最小值为5，故线段PQ长度的最小值为5－1.答案：5－13．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为________．解析：由半径r＝12D2＋E2－4F＝124a2＋4b2＝2得，a2＋b2＝2.所以点(a，b)到原点的距离d＝a2＋b2＝2.答案：24．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．解析：根据题意得点(1,0)关于直线y＝x对称的点(0,1)为圆心，又半径r＝1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.答案：x2＋(y－1)2＝15．(2019·兴化月考)经过点(2,0)且圆心是直线x＝2与直线x＋y＝4的交点的圆的标准方程为________．解析：由x＝2，x＋y＝4得x＝2，y＝2，即两直线的交点坐标为(2,2)，则圆心坐标为(2,2)．又点(2,0)在圆上，所以半径r＝2，则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.答案：(x－2)2＋(y－2)2＝46．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则PQ的最小值为________．解析：如图所示，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为MQ＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·无锡调研)设两条直线x＋y－2＝0,3x－y－2＝0的交点为M，若点M在圆(x－m)2＋y2＝5内，则实数m的取值范围为________．解析：联立x＋y－2＝0，3x－y－2＝0，解得x＝1，y＝1，则M(1,1)，由交点M在圆(x－m)2＋y2＝5的内部，可得(1－m)2＋1＜5，解得－1＜m＜3.故实数m的取值范围为(－1,3)．答案：(－1,3)2．已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则y－1x－2的最大值与最小值分别为________．解析：设y－1x－2＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．过两点连线的直线方程为kx－y＋1－2k＝0，当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值，由|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33.答案：33，－333．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为________________．解析：由题意知x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r＝2.又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由x＋y＝0和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝24．(2018·苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2，－1)的圆C和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上，则圆C的标准方程为________________．解析：根据题意，设圆C的圆心为(m，－2m)，半径为r，则m－2＋－2m＋2＝r2，|m－2m－1|2＝r，解得m＝1，r＝2，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.答案：(x－1)2＋(y＋2)2＝25．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m＝________.解析：因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.答案：－16．在平面直角坐标系xOy内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由题意知a＜0，|－a|＞2，|2a|＞2，解得a＜－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)7．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r＝12k2＋4－4k2＝124－3k2≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tanα＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π48．(2018·滨海中学检测)已知点P(0,2)为圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝2a2外一点，若圆C上存在点Q，使得∠CPQ＝30°，则正数a的取值范围是________．解析：由圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝2a2，得圆心为C(a，a)，半径r＝2a，∴CP＝a2＋a－2，设过P的一条切线与圆的切点是T，则CT＝2a，当Q为切点时，∠CPQ最大．∵圆C上存在点Q使得∠CPQ＝30°，∴CTCP≥sin30°，即2aa2＋a－2≥12，整理可得3a2＋2a－2≥0，解得a≥7－13或a≤－7－13(舍去)．又点P(0,2)为圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝2a2外一点，∴a2＋(2－a)2＞2a2，解得a＜1.故正数a的取值范围是7－13，1.答案：7－13，19．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又因为直径CD＝410，所以PA＝210，所以(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得a＝－3，b＝6或a＝5，b＝－2.所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)．所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求n－3m＋2的最大值和最小值．解：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝22，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|2＋2×7－t|12＋22≤22，解上式得，16－210≤t≤16＋210，所以所求的最大值为16＋210.(2)记点Q(－2,3)，因为n－3m＋2表示直线MQ的斜率k，所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直线MQ与圆C有公共点，得|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22.可得2－3≤k≤2＋3，所以n－3m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·宁海中学模拟)如果直线2ax－by＋14＝0(a＞0，b＞0)和函数f(x)＝mx＋1＋1(m＞0，m≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x－a＋1)2＋(y＋b－2)2＝25的内部或圆上，那么ba的取值范围是________．解析：函数f(x)＝mx＋1＋1的图象恒过点(－1,2)，代入直线2ax－by＋14＝0，可得－2a－2b＋14＝0，即a＋b＝7.∵定点始终落在圆(x－a＋1)2＋(y＋b－2)2＝25的内部或圆上，∴a2＋b2≤25.设ba＝t，则b＝at，代入a＋b＝7，可得a＝71＋t，b＝7t1＋t，代入a2＋b2≤25，可得()1＋t2×71＋t2≤25，∴12t2－25t＋12≤0，∴34≤t≤43.故ba的取值范围是34，43.答案：34，432．(2018·启东中学检测)已知点A(0,2)为圆M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外一点，圆M上存在点T，使得∠MAT＝45°，则实数a的取值范围是________．解析：圆M的方程可化为(x－a)2＋(y－a)2＝2a2.圆心为M(a，a)，半径为2a.当A，M，T三点共线时，∠MAT＝0°最小，当AT与圆M相切时，∠MAT最大．圆M上存在点T，使得∠MAT＝45°，只需要当∠MAT最大时，满足45°≤∠MAT＜90°即可．MA＝a－2＋a－2＝2a2－4a＋4，此时直线AT与圆M相切，所以sin∠MAT＝MTMA＝2a2a2－4a＋4.因为45°≤∠MAT＜90°，所以22≤sin∠MAT＜1，所以22≤2a2a2－4a＋4＜1，解得3－1≤a＜1.答案：[3－1,1)3．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为63m，行车道总宽度BC为211m，侧墙EA，FD高为2m，弧顶高MN为5m.(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．解：(1)以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1m为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系．则E(－33，0)，F(33，0)，M(0,3)．由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，因为F(33，0)，M(0,3)都在圆上，所以32＋b2＝r2，02＋－b2＝r2，解得b＝－3，r2＝36.所以圆的方程是x2＋(y＋3)2＝36.(2)设限高为h，作CP⊥AD交圆弧于点P，则CP＝h＋0.5.将点P的横坐标x＝11代入圆的方程，得11＋(y＋3)2＝36，解得y＝2或y＝－8(舍去)．所以h＝CP－0.5＝(y＋DF)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．答：车辆的限制高度为3.5m.