（通用版）2020版高考数学大二轮复习 专题二 函数与导数 2.3 热点小专题一 导数的应用课件 理

2.3热点小专题一导数的应用-2-一、考情分析从近几年高考客观题对导数应用的考查主要是:利用导数的几何意义求曲线的切线方程;利用导数研究函数的零点,参数的取值范围;以实际问题、三角函数、几何体为载体的导数求最值问题.二、必备知识整合1.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f'(x0).2.常用的导数及求导法则(1)(xm)'=m𝑥𝑚-1,(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx,(ex)'=ex,(lnx)'=1𝑥,(ax)'=axlna,(logax)'=1𝑥ln𝑎.(2)[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)'=𝑓'(𝑥)𝑔(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑔'(𝑥)𝑔2(𝑥)[g(x)≠0].-3-3.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程.(2)已知切线的斜率为k,求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),通过方程k=f'(x0),解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f'(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.4.利用导数研究函数单调性的方法(1)若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)0或f'(x)0.(2)若已知函数的单调性,则转化为不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.-4-5.利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.6.利用导数研究函数零点问题的思路(1)求函数f(x)=g(x)-h(x)的零点个数,转化为两函数y=g(x),y=h(x)的交点个数,通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的变化趋势,数形结合求解.(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,再利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.-5-热点一热点二热点三热点四利用导数求曲线的切线例1(1)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x(2)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.答案解析解析关闭(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.(2)∵f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,∴已知点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为𝑎+2-71-2=5-a,∴5-a=3a+1,解得a=1.答案解析关闭(1)D(2)1-6-热点一热点二热点三热点四解题心得1.求切线方程需要两个条件,曲线在某点处的切线意味着该点在曲线上,求该点的导数值即得切线的斜率.2.求经过点P(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线(斜率存在)的方程的关键:若点P是切点,则直接利用求曲线在点P处的切线方程的思路去求解;若点P不是切点,则需先设切点的坐标(x0,y0),再根据得到切点的坐标,进而利用直线的点斜式或两点式方程求出切线的方程.𝑦0=f(𝑥0),𝑦1-𝑦0𝑥1-𝑥0=f'(𝑥0),-7-热点一热点二热点三热点四对点训练1(2019江苏卷,11)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.答案解析解析关闭设点A(x0,y0),则y0=lnx0,又y'=1𝑥,当x=x0时,y'=1𝑥0,点A在曲线y=lnx上的切线为y-y0=1𝑥0(x-x0),即y-lnx0=𝑥𝑥0-1,代入点(-e,-1),得-1-lnx0=-e𝑥0-1,即x0lnx0=e,得x0=e,y0=1,故点A(e,1).答案解析关闭(e,1)-8-热点一热点二热点三热点四已知曲线的切线方程求参数的值例2若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案解析解析关闭对函数y=lnx+2求导,得y'=1𝑥,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=1𝑥+1.设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(lnx1+2)=1𝑥1(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=1𝑥2+1(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以1𝑥1=1𝑥2+1,ln(𝑥2+1)=ln𝑥1+𝑥2𝑥2+1+1,解得x1=12,所以k=1𝑥1=2,b=lnx1+2-1=1-ln2.答案解析关闭1-ln2-9-热点一热点二热点三热点四解题心得解已知曲线的切线方程求参数问题的一般思路是:利用方程的思想求解,即设出切点坐标,求出函数在切点的导数得切线的斜率,由斜率相等得一方程,由切点坐标代入函数解析式,又得一方程,联立求解即可.-10-热点一热点二热点三热点四对点训练2(2019山东潍坊二模,文13)若函数f(x)=x-alnx在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,则实数a=.答案解析解析关闭f'(x)=1-𝑎𝑥,f'(1)=1-𝑎𝑥=1-a,由题意得1-a=2,解得a=-1.答案解析关闭-1-11-热点一热点二热点三热点四求参数的取值范围(多维探究)类型一已知函数单调性求参数范围例3(1)若函数f(x)=x2-4ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为.(2)若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是.答案解析解析关闭(1)因为f(x)=x2-4ex-ax,所以f'(x)=2x-4ex-a.由题意,f'(x)=2x-4ex-a0,即a2x-4ex有解.令g(x)=2x-4ex,则g'(x)=2-4ex.令g'(x)=0,解得x=-ln2.当x∈(-∞,-ln2)时,函数g(x)=2x-4ex单调递增;当x∈(-ln2,+∞)时,函数g(x)=2x-4ex单调递减.所以当x=-ln2时,g(x)=2x-4ex取得最大值-2-2ln2,所以a-2-2ln2.(2)f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x)=4x-1𝑥.由f'(x)=0,得x=12.据题意,得𝑘-112𝑘+1,𝑘-1≥0,解得1≤k32.答案解析关闭(1)(-∞,-2-2ln2)(2)1,32-12-热点一热点二热点三热点四解题心得已知函数的单调性求参数范围关键是转化,即“若函数单调递增,则f'(x)≥0;若函数单调递减,则f'(x)≤0”.如本例(1)先转化为f'(x)0,由此分离出参数再转化为求函数最值.本例(2)中,若函数某个区间内不是单调函数,可转化为函数的极值点在这个区间内.-13-热点一热点二热点三热点四对点训练3(1)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在区间(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是()13A.[-1,1]B.-1,13C.-13,13D.-1,-13(2)设f(x)=ex(lnx-a),若函数f(x)在区间1e,e上单调递减,则实数a的取值范围为.答案(1)C(2)[e-1,+∞)-14-热点一热点二热点三热点四解析(1)由题意可知,f'(x)=1-23cos2x+acosx=-43cos2x+acosx+53.因为f(x)在R上单调递增,所以f'(x)=-43cos2x+acosx+53≥0在R上恒成立.(方法一)则由题意可得,当cosx=1时,f'(x)≥0,当cosx=-1时,f'(x)≥0,即-43+𝑎+53≥0,-43-𝑎+53≥0,解得-13≤a≤13.-15-热点一热点二热点三热点四(方法二)令t=cosx∈[-1,1],当t=0时,530恒成立;当0t≤1时,a≥43t-53𝑡.令h(t)=43t-53𝑡,则h'(t)=43+53𝑡20,所以h(t)在(0,1]上单调递增.所以h(t)max=h(1)=-13.所以a≥-13.当-1≤t0时,a≤43t-53𝑡.令g(t)=43t-53𝑡,则g'(t)=43+53𝑡20,所以g(t)在[-1,0)上单调递增.所以g(t)min=g(-1)=13,所以a≤13.综上,-13≤a≤13.-16-热点一热点二热点三热点四(2)由题意可得f'(x)=exlnx+1𝑥-a≤0在1e,e上恒成立.因为ex0,所以只需lnx+1𝑥-a≤0,即a≥lnx+1𝑥在1e,e上恒成立.令g(x)=lnx+1𝑥.因为g'(x)=1𝑥−1𝑥2=𝑥-1𝑥2.由g'(x)=0,得x=1.则g(x)在1e,1内单调递减,在(1,e)内单调递增,g1e=ln1e+e=e-1,g(e)=1+1e,因为e-11+1e,所以g(x)max=g1e=e-1.故a的取值范围为[e-1,+∞).-17-热点一热点二热点三热点四类型二已知函数极值点求参数范围例4(2019山西吕梁一模,理11,文12)函数f(x)=lnx+12x2-ax(x0)在区间12,3上有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是()A.52,3B.52,103C.52,103D.2,103答案B-18-热点一热点二热点三热点四解析∵f(x)=lnx+12x2-ax(x0),∴f'(x)=1𝑥+x-a(x0).∵函数f(x)=lnx+12x2-ax(x0)在区间12,3上有且仅有一个极值点,∴y=f'(x)在区间12,3上只有一个变号零点.令f'(x)=1𝑥+x-a=0,得a=1𝑥+x.令g(x)=1𝑥+x,x∈12,3,则g(x)在区间12,1上单调递减,在区间(1,3)上单调递增,∴g(x)min=g(1)=2,又g12=52,g(3)=103.-19-热点一热点二热点三热点四结合函数g(x)=1𝑥+x,x∈12,3的图象可得,当52≤a103时,y=f'(x)在区间12,3上只有一个变号零点.∴实数a的取值范围为52,103.故选B.-20-热点一热点二热点三热点四解题心得解决已知函数极值点求参数范围问题一要注重转化,如本例中f(x)在12,3上有且仅有一个极值点的转化;二要注重数形结合,如本例中g(x)=1𝑥+x的值域是2,103,若a的值为2.2,则f'(x)=1𝑥+x-a的值在区间12,1上先正后负,在(1,3]上先负后正,因此函数f(x)在12,3上有两个极值点.-21-热点一热点二热点三热点四对点训练4设函数.若存在f(x)的极值点x0满足+[f(x0)]2m2,则m的取值范围是()A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)f(x)=3sinπ𝑥𝑚𝑥02答案解析解析关闭∵x0是f(x)的极值点,∴f'(x0)=0,即π𝑚·