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34 5年中考3年模拟§4.2 三角形及其全等90考点清单考点一 三角形的相关概念及边角性质 1.三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段① 首尾顺次 相接所组成的图形叫做三角形.2.三角形的分类(1)按边分:三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形② 等边三角形 {{(2)按角分:三角形③ 直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形{{3.三角形的中位线(1)定义:连接三角形两边④ 中点 的线段叫三角形的中位线.(2)性质:三角形的中位线⑤ 平行 于第三边,且等于第三边的⑥ 一半 .4.三角形三边关系文字叙述数学语言理论依据图形内容三角形两边之和⑦ 大于 第三边在△ABC中,a,b,c为三边长,则有a+b>c,b+c>a,a+c>b三角形两边之差小于第三边在△ABC中,a,b,c为三边长,则有a-b<c,b-c<a,c-a<b两点之间,线段最短应用(1)判断三条线段能否组成三角形,(2)已知三角形的两边长,求第三边长的取值范围 5.与三角形有关的角三角形内角和定理三角形三个内角的和等于⑧ 180° 三角形内角和定理的推论直角三角形的两个锐角⑨ 互余 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的⑩ 和 考点二 全等三角形 1.全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形.2.全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.3.全等三角形的性质全等三角形的 对应边 相等, 对应角 相等.4.全等三角形的判定判定判定1:三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)判定2:两边和它们的 夹角 分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)判定3:两角和它们的 夹边 分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)判定4:两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)判定5:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)90方法一 三角形边的关系 判断已知长度的三条线段是否能够组成三角形的关键是灵活巧妙地运用三角形三边关系.例1 (2017浙江金华,3,3分)下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是( )A.2,3,4B.5,7,7C.5,6,12D.6,8,10解析 ∵2+3>4,∴选项A能;∵5+7>7,∴选项B能;∵5+6<12,∴选项C不能;∵6+8>10,∴选项D能.故选C.答案 C思路分析 三个数中,若较小的两数之和大于第三个数,则符合三角形的三边关系,就能成为一个三角形的三边长,否则不能成为一个三角形的三边长. 变式训练1 (2018福建,3,4分)下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是( )A.1,1,2B.1,2,4C.2,3,4D.2,3,5答案 C解析 三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选项A、B、D均不符合,故选C. 变式训练2 (2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为 .答案 16解析 ∵x2-10x+21=(x-3)(x-7)=0,∴x1=3,x2=7,∵3+3=6,∴3不能作为该三角形的第三边长,∴三角形的第三边长为7,∴三角形的周长为3+6+7=16.第四章 图形的认识35 方法二 利用图形变换与全等三角形的关系解题 经过图形的平移、旋转与轴对称变换后,往往能得到一些新的等量关系,这些等量关系为三角形的全等证明提供了条件.例2 (2017烟台,23,10分)【操作发现】(1)如图1,△ABC为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°).旋转后三角板的一直角边与AB交于点D.在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF,EF.①求∠EAF的度数;②DE与EF相等吗?请说明理由;【类比探究】(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的90°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°).旋转后三角板的一直角边与AB交于点D.在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=45°,连接AF,EF.请直接写出探究结果:①∠EAF的度数;②线段AE,ED,DB之间的数量关系.解析 (1)①由旋转的性质可知∠FCA=∠DCB.∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC,∠B=∠CAB=60°.在△CFA和△CDB中,AC=CB,∠FCA=∠DCB,CF=CD,{∴△CFA≌△CDB(SAS).∴∠FAC=∠B=60°.∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=60°+60°=120°.②DE=EF,理由如下:∵∠DCE=30°,∠FCD=60°,∴∠FCE=∠DCE=30°.在△FCE和△DCE中,CF=DC,∠FCE=∠DCE,CE=CE,{∴△FCE≌△DCE(SAS).∴DE=EF.(2)①∠EAF=90°,理由如下:由旋转的性质可知∠FCA=∠DCB.∵△ABC等腰直角三角形,∴AC=BC,∠B=∠CAB=45°.在△CFA和△CDB中,AC=CB,∠FCA=∠DCB,CF=CD,{∴△CFA≌△CDB(SAS).∴∠FAC=∠B=45°.∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+45°=90°.②DB2+AE2=ED2.理由如下:∵∠DCE=45°,∠FCD=90°,∴∠FCE=∠DCE=45°.在△FCE和△DCE中,CF=DC,∠FCE=∠DCE,CE=CE,{∴△FCE≌△DCE(SAS).∴DE=EF.在Rt△AFE中,AF2+AE2=EF2,由①可知△CFA≌△CDB,∴AF=DB,∴DB2+AE2=ED2. 变式训练 (2018辽宁沈阳,24,12分)已知:△ABC是等腰三角形,CA=CB,0°<∠ACB≤90°,点M在边AC上,点N在边BC上(点M、点N不与所在线段端点重合),BN=AM,连接AN,BM.射线AG∥BC,延长BM交射线AG于点D,点E在直线AN上,且AE=DE.(1)如图,当∠ACB=90°时:①求证:△BCM≌△ACN;②求∠BDE的度数;(2)当∠ACB=α,其他条件不变时,∠BDE的度数是 ;(用含α的代数式表示)(3)若△ABC是等边三角形,AB=33,点N是BC边上的三等分点,直线ED与直线BC交于点F,请直接∙∙写出线段CF的长. 备用图1 备用图2解析 (1)①证明:∵CA=CB,BN=AM,∴CB-BN=CA-AM,即CN=CM,∵BC=AC,∠MCB=∠ACN,CM=CN,∴△BCM≌△ACN.②∵△BCM≌△ACN,∴∠MBC=∠NAC,∵EA=ED,∴∠EAD=∠EDA,∵AG∥BC,∴∠GAC=∠ACB=90°,∠ADB=∠DBC,∴∠ADB=∠NAC,∵∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD=180°-90°=90°,∴∠BDE=90°.(2)α或180°-α.(3)43或32.详解:(2)由E在直线AN上,可知,分两种情况讨论:①如图1,E与N在点A异侧,可得∠BDE=180°-α;②如图2,E与N在点A同侧,可得∠BDE=α.36 5年中考3年模拟图1 图2(3)由点N是BC边上的三等分点可知,分两种情况讨论:①如图3,当CN=MC=23BC=23时,由AD∥BC可得△ADM∽△CBM,EAAN=EDDF,∴ADBC=AMMC=DMBM=12,∴AD=332.由EA=ED得AN=DF,又由△BCM≌△ACN可得AN=BM.过点A作AH⊥BC于H,由勾股定理可得,AN=21.由(2)知∠BDE=120°,∴∠BDF=60°,从而可得△BCM∽△BDF,∴BMBF=MCDF,∴DFBF=MCDF,∴BF=732,∴CF=BF-BC=32.图3 图4②如图4,当CN=13BC=3时,与①同法可求得CF=43.思路分析 (1)①由“边角边”可证三角形全等.②∠BDE=∠EDA+∠ADM,由等边对等角可得∠EAD=∠EDA.由△BCM≌△ACN,可得∠CBM=∠CAN,由两直线平行,内错角相等,可得∠ADM=∠CBM,∠DAM=∠C=90°.而∠CAN+∠EAD+∠DAM=180°,∴∠CAN+∠EAD=90°,∴∠BDE=90°.(2)分E与N在点A同侧和异侧两种情况讨论求解.(3)N为BC的三等分点,分类讨论BN=13BC和BN=23BC两种情况.易错警示 本题的易错点在于审题,第(2)问E在直线AN上,第(3)问点N是BC边上的三等分点,都需要分类讨论.方法三 合理选择全等三角形的判定方法 1.由判定两个三角形全等的方法可知,要判定两个三角形全等,需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等,这样就可以利用题目中的已知边(角)迅速准确地确定要补充的边(角),有目的地完善三角形全等的条件,从而得到判定两个三角形全等的思路:(1)已知两边找夹角→SAS,找直角→HL,找第三边→SSS.{(2)已知一边一角一边为角的对边→找另一角→AAS;一边为角的邻边找夹角的另一边→SAS,找夹边的另一角→ASA,找边的对角→AAS.{ìîíïïïï(3)已知两角找夹边→ASA,找其中一角的对边→AAS.{2.若题中没有全等的三角形,可根据题中条件合理地添加辅助线.如作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解答运动、拼接、旋转等探究性题目.例3 (2017浙江温州,18,8分)如图,在五边形ABCDE中,∠BCD=∠EDC=90°,BC=ED,AC=AD.(1)求证:△ABC≌△AED;(2)当∠B=140°时,求∠BAE的度数.解析 (1)证明:∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC.∵∠BCD=∠EDC=90°,∴∠ACB=∠ADE.∵BC=ED,∴△ABC≌△AED(SAS).(2)由(1)得△ABC≌△AED,∴∠B=∠E,∵∠B=140°,∴∠E=140°.∵五边形ABCDE的内角和为540°,∴∠BAE=540°-2×(140°+90°)=80°. 变式训练 (2016四川泸州,18,6分)如图,C是线段AB的中点,CD=BE,CD∥BE.求证:∠D=∠E.证明 ∵C是线段AB的中点,∴AC=CB,∵CD∥BE,∴∠ACD=∠CBE,在△ACD和△CBE中,AC=CB,∠ACD=∠CBE,CD=BE,{∴△ACD≌△CBE,∴∠D=∠E.
本文标题:(山东专版)2019版中考数学总复习 第四章 图形的认识 4.2 三角形及其全等(讲解部分)检测(p
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