2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.2 不等式的解集教师用书 新人教

-1-2．2.2不等式的解集考点学习目标核心素养不等式的解集与不等式组的解集会求解一元一次不等式及一元一次不等式组的解集数学运算绝对值不等式能借助绝对值的几何意义求解含绝对值的不等式的解集数学运算问题导学预习教材P64－P67的内容，思考以下问题：1．什么是不等式的解集？2．什么是不等式组的解集？3．绝对值不等式的概念是什么？4．|a|的几何意义是什么？5．若A、B是数轴上不同的两点，线段AB的长度及A、B的中点分别是什么？1．不等式的解集与不等式组的解集(1)一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．(2)对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．■名师点拨若不等式中所含不等式解集的交集为∅时，则不等式组的解集为∅.2．绝对值不等式(1)绝对值不等式的概念一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．(2)数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|AB|＝|a－b|，线段AB的中点M对应的数x＝a＋b2．■名师点拨(1)求线段AB的长|AB|时，不要忽视绝对值；(2)线段AB的中点坐标与A、B两点的顺序无关．-2-判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式2x＋1＞0的解集为－12，＋∞.()(2)不等式ax＋b＞0的解集为－ba，＋∞.()(3)不等式|x|＜12的解集为－12，12.()(4)不等式|x|＜a的解集为(－a，a)．()(5)若|a|＞|b|，则a＞b.()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×不等式组2x－1＞0，x＋1＜3的解集为________．答案：12，2不等式|x－1|＜1的解集为________．答案：(0，2)不等式|x－2|＞3的解集为________．答案：(－∞，－1)∪(5，＋∞)若A，B两点在数轴上的坐标分别为A(2)，B(－4)，则|AB|＝________，线段AB的中点M的坐标为________．答案：6M(－1)不等式组的解法解下列不等式组：(1)x－5＞1＋2x，①3x＋2≤4x；②(2)23x＋5＞1－x，①x－1≤34x－18.②【解】(1)解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：-3-由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅.(2)解不等式①，得x＞－125，解不等式②，得x≤72，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：由图可知不等式组的解集为－125，72.解不等式组的三个步骤(1)求出不等式组中每个不等式的解集．(2)借助数轴找出各解集的公共部分．(3)写出不等式组的解集．已知关于x的不等式组5－2x≥－1，①x－a＞0②无解，求a的取值范围．解：解不等式①，得x≤3.解不等式②，得x＞a.因为该不等式组无解，所以不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示．所以a＞3.当a＝3时，代入不等式组，得x≤3，且x＞3，此时，不等式组也无解，满足题意，所以a的取值范围为a≥3.含有一个绝对值号不等式的解法解下列不等式：(1)|2x＋5|＜7；(2)|2x＋5|＞7＋x；(3)2≤|x－2|≤4.【解】(1)原不等式等价于－7＜2x＋5＜7.所以－12＜2x＜2，所以－6＜x＜1，所以原不等式的解集为(－6，1)．(2)由不等式|2x＋5|＞7＋x，-4-可得2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－(7＋x)，所以x＞2或x＜－4.所以原不等式的解集为(2，＋∞)∪(－∞，－4)．(3)原不等式等价于|x－2|≥2，①|x－2|≤4.②由①得x－2≤－2，或x－2≥2，所以x≤0，或x≥4.由②得－4≤x－2≤4，所以－2≤x≤6.所以原不等式的解集为[－2，0]∪[4，6]．含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法(1)形如|f(x)|＜a(a＞0)和|f(x)|＞a(a＞0)型不等式可运用等价转化法化成等价的不等式(组)求解．(2)形如|f(x)|＜g(x)和|f(x)|＞g(x)型不等式的解法如下：①等价转化法：|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)，|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x)．(这里g(x)可正也可负)②分类讨论法：|f(x)|＜g(x)⇔f（x）≥0f（x）＜g（x）或f（x）＜0－f（x）＜g（x），|f(x)|＞g(x)⇔f（x）≥0f（x）＞g（x）或f（x）＜0－f（x）＞g（x）.解不等式：1＜|x－2|≤3.解：原不等式等价于不等式组|x－2|＞1|x－2|≤3，即x＜1或x＞3，－1≤x≤5，解得－1≤x＜1或3＜x≤5，所以原不等式的解集为[－1，1)∪(3，5]．含有两个绝对值号不等式的解法解下列不等式：(1)|x－1|＞|2x－3|；(2)|x－1|＋|x－2|＞2；-5-(3)|x＋1|＋|x＋2|＞3＋x.【解】(1)因为|x－1|＞|2x－3|，所以(x－1)2＞(2x－3)2，即(2x－3)2－(x－1)2＜0，所以(2x－3＋x－1)(2x－3－x＋1)＜0，即(3x－4)(x－2)＜0，所以43＜x＜2.即原不等式的解集为43，2.(2)原不等式⇔x≤11－x＋2－x＞2或1＜x＜2x－1＋2－x＞2或x≥2x－1＋x－2＞2⇔x≤1x＜12或1＜x＜2－1＞0或x≥2x＞52⇔x＜12或x＞52，所以原不等式的解集为－∞，12∪52，＋∞.(3)原不等式⇔x≤－2－x－1－x－2＞3＋x或－2＜x＜－1－x－1＋x＋2＞3＋x或x≥－1x＋1＋x＋2＞3＋x⇔x≤－2x＜－2或－2＜x＜－1x＜－2或x≥－1x＞0⇔x＜－2或x＞0.所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(1)含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法①|x|＜a⇔－a＜x＜a（a＞0），∅（a≤0）.②|x|＞a⇔x∈R（a＜0），x∈R且x≠0（a＝0），x＞a或x＜－a（a＞0）.(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)求解|f(x)|＞|g(x)|或|f(x)|＜|g(x)|型不等式的方法为平方法，如本例(1)．(4)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的2种解法①利用绝对值不等式的几何意义．-6-②利用x－a＝0，x－b＝0的解，将数轴分成三个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之．1．不等式|x＋3|－|x－3|＞3的解集是()A.x|x＞32B.x|32＜x≤3C．{x|x≥3}D．{x|－3＜x≤0}解析：选A.当x＜－3时，－(x＋3)＋(x－3)＞3，－6＞3，无解．当－3≤x≤3时，x＋3＋x－3＞3，所以x＞32，故32＜x≤3.当x＞3时，x＋3－(x－3)＞3，6＞3，所以x＞3.综上可知原不等式的解集为x|x＞32.2．解不等式|2x－1|＜|x|＋1.解：当x＜0时，原不等式可化为－2x＋1＜－x＋1，解得x＞0，又因为x＜0，所以这样的x不存在．当0≤x＜12时，原不等式可化为－2x＋1＜x＋1，解得x＞0，又因为0≤x＜12，所以0＜x＜12.当x≥12时，原不等式可化为2x－1＜x＋1，解得x＜2，又因为x≥12，所以12≤x＜2.综上所述，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．1．不等式组2x－1≥5，8－4x＜0的解集在数轴上表示为()解析：选C.解不等式2x－1≥5，得x≥3，解不等式8－4x＜0，得x＞2，故不等式组的解集为[3，＋∞)．选C.2．不等式3≤|5－2x|＜9的解集为()A．[－2，1)∪[4，7)B．(－2，1]∪(4，7]C．[－2，1]∪[4，7)D．(－2，1]∪[4，7)解析：选D.因为|5－2x|＝|2x－5|，则原不等式等价于3≤2x－5＜9或－9＜2x－5≤－3，解得4≤x＜7或－2＜x≤1，故解集为(－2，1]∪[4，7)．-7-3．不等式|x－2|≤|x|的解集是________．解析：|x－2|≤|x|⇔(x－2)2≤x2⇔4－4x≤0⇔x≥1.答案：{x|x≥1}4．不等式组1－2x3－4－3x6≥x－22，2x－7≤3（x－1）的解集为________．解析：记原不等式组为1－2x3－4－3x6≥x－22，①2x－7≤3（x－1）.②解不等式①，得x≤1.解不等式②，得x≥－4.故原不等式组的解集为[－4，1]．答案：[－4，1]5．已知关于x的不等式组2x－3a＜7b，6b－3x＜5a的解集是(5，22)，则a＝________，b＝________．解析：记原不等式组为2x－3a＜7b，①6b－3x＜5a，②解不等式①，得x＜3a＋7b2.解不等式②，得x＞6b－5a3.因为原不等式组的解集为(5，22)，所以3a＋7b2＝22，6b－5a3＝5.解这个关于a，b的二元一次方程组，得a＝3，b＝5.答案：35[A基础达标]1．在一元一次不等式组2x＋1＞0，x－5≤0的解集中，整数解的个数是()A．4B．5-8-C．6D．7解析：选C.解不等式2x＋1＞0，得x＞－12.解不等式x－5≤0，得x≤5，所以不等式组的解集为－12，5，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个．2．若不等式组1＋x＜a，x＋92＋1≥x＋13－1有解，则实数a的取值范围是()A．a＜－36B．a≤－36C．a＞－36D．a≥－36解析：选C.解不等式1＋x＜a，得x＜a－1.解不等式x＋92＋1≥x＋13－1，得x≥－37，因为不等式组有解，所以a－1＞－37，即a＞－36.3．不等式1≤|2x－1|＜2的解集为()A.x|－12＜x＜0或1≤x≤32B.x|－12＜x≤0或1≤x≤32C.x|－12＜x≤0且1＜x≤32D.x|－12＜x≤0或1≤x＜32解析：选D.1≤|2x－1|＜2则1≤2x－1＜2或－2＜2x－1≤－1，因此－12＜x≤0或1≤x＜32.4．使3－|x||2x＋1|－4有意义的x满足的条件是()A．－3≤x＜32B．－52＜x≤3C．－3≤x＜－52或32＜x≤3D．－3≤x≤3解析：选C.依题意应有3－|x|≥0|2x＋1|－4＞0，即－3≤x≤32x＋1＞4或2x＋1＜－4，解得－3≤x＜－52或32＜x≤3.5．不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是()A．0B．－1-9-C．1D．2解析：选A.原不等式可化为x＞2x－1＋x－2≤3或1≤x≤2x－1－（x－2）≤3或x＜1－（x－1）－（x－2）≤3，解得0≤x≤3，所以最小整数解是0，故选A.6．不等式组2x－13－5x－12≤1，5x－2＜3（x＋2）的所有正整数解的和为________．解析：解原不等式组，得不等式组的解集是－511≤x＜4，所以不等式组的正整数解是1，2，3，故它们的和为1＋2＋3＝6.答案：67．关于x的不等式|mx－2|＜3的解集为x|－56＜x＜16，则m＝________．解析：|mx－2|＜3⇔－3＜mx－2＜3⇔－1＜mx＜5，①若m＞0，则－1m＜x＜5m，由题意得－1m＝－56且5m＝16，无解．②若m＜0，