2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末复习讲义 新人教A版选修2-1

-1-第二章圆锥曲线与方程知识系统整合规律方法收藏求轨迹方程的几种常用方法(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．学科思想培优一、圆锥曲线的定义、方程及性质(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写-2-出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．[典例1]已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，P(1，m)是抛物线C上的一点，且|PF|＝2.(1)若椭圆C′：x24＋y2n＝1与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C′的方程；(2)设抛物线C与(1)中所求椭圆C′的交点为A，B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．解(1)因为P到焦点的距离等于P到准线的距离，所以PF＝1＋p2＝2，p＝2，故抛物线的方程为C：y2＝4x.又由椭圆C′：x24＋y2n＝1，可知4－n＝1，所以n＝3，故所求椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)由x24＋y23＝1，y2＝4x，消去y得到3x2＋16x－12＝0，解得x1＝23，x2＝－6(舍去)．所以A23，236，B23，－236，则双曲线的渐近线方程为y＝±6x.由渐近线6x±y＝0，可设双曲线方程为6x2－y2＝λ(λ≠0)．由点P(1，m)在抛物线C：y2＝4x上，解得m2＝4，P(1，±2)，因为点P在双曲线上，所以6－4＝λ＝2，故所求双曲线方程为3x2－y22＝1.拓展提升(1)圆锥曲线的定义是推导标准方程和几何性质的基础，也是解题的重要工具，灵活运用定义，可避免很多复杂的计算，提高解题效率，因此在解决圆锥曲线的有关问题时，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．(2)应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合、方程等思想结合运用．二、直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数-3-解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ0⇔直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝1＋k2x1－x22或1＋1k2y1－y22，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例2]已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．解(1)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2＝1(a1)，则右焦点F(a2－1，0)．由题设，知|a2－1＋22|2＝3，解得a2＝3.故所求椭圆的方程为x23＋y2＝1.(2)设点P为弦MN的中点．由y＝kx＋m，x23＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ0，即m23k2＋1.①所以xP＝xM＋xN2＝－3mk3k2＋1.从而yP＝kxP＋m＝m3k2＋1，所以kAP＝yP＋1xP＝－m＋3k2＋13mk.又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN.则－m＋3k2＋13mk＝－1k，即2m＝3k2＋1.②把②代入①得2mm2，解得0m2.由②得k2＝2m－130，解得m12.故所求m的取值范围是12，2.-4-拓展提升有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ0⇔直线与椭圆相交；Δ0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．③相离：Δ0⇔直线与椭圆相离；Δ0⇔直线与双曲线相离；Δ0⇔直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．三、圆锥曲线中的定点与定值问题解决定点与定值问题应灵活应用已知条件巧设变量，在变形过程中要注意各变量之间的关系，善于捕捉题目信息，注意消元思想的应用．[典例3]设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.证明因为抛物线y2＝2px(p0)的焦点为Fp2，0，所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋p2，代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0.若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2.因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－p2上，所以点C的坐标为－p2，y2，故直线CO的斜率为k＝y2－p2＝2py1＝y1x1，即k也是直线OA的斜率，所以A，O，C三点共线，所以直线AC经过原点O.-5-[典例4]设椭圆E：x2a2＋y21－a2＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．解(1)因为焦距为1，所以2a2－1＝14，解得a2＝58.故椭圆E的方程为8x25＋8y23＝1.(2)证明：设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝2a2－1.由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝y0x0＋c，直线F2P的斜率kF2P＝y0x0－c.故直线F2P的方程为y＝y0x0－c(x－c)．当x＝0时，y＝cy0c－x0，即点Q的坐标为0，cy0c－x0.因此，直线F1Q的斜率kF1Q＝y0c－x0.由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝y0x0＋c·y0c－x0＝－1.化简得y20＝x20－(2a2－1)．①将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．拓展提升圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，解决此类问题的主要方法是通过研究直线与曲线的位置关系，把所给问题进行化简，通过计算获得答案；或是从特殊位置出发，确定定值，然后给出一般情况的证明．四、圆锥曲线中的最值(或范围)问题1.最值问题的求解方法-6-(1)建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．(2)建立不等式模型，利用基本不等式求最值．(3)数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．2．求参数范围的常用方法[典例5]设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解(1)圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1,0)，如图．因为|AD|＝|AC|，所以∠ACD＝∠ADC.因为EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．(2)解法一：当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由y＝kx－1，x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.-7-则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3，所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12k2＋14k2＋3.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1)，A到m的距离为2k2＋1，所以|PQ|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.故四边形MPNQ的面积S＝12|MN|·|PQ|＝121＋14k2＋3.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83)．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83)．解法二：设∠MBA＝θ(θ∈(0，π))，则在△MAB中运用余弦定理，有|MA|2＝|MB|2＋|AB|2－2·|MB|·|AB|·cosθ，结合|MA|＋|MB|＝4可解得|MB|＝32－cosθ.同理可得|NB|＝32＋cosθ，从而|MN|＝|MB|＋|NB|＝124－cos2θ.此时直线PQ的方程为xcosθ＝ysinθ＋cosθ.于是圆的弦长|PQ|＝242－2cosθcos2θ＋sin2θ2＝44－cos2θ.则四边形MPNQ的面积S＝12·|MN|·|PQ|＝244－cos2θ∈[12,83)，故四边形MPNQ面积的取值范围是[12,83)．拓展提升圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式的知识，以及数形结合、设参、转化、代换等途径来解决．五、圆锥曲线中的存在性问题-8-1．解决存在性问题的关注点求解存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．2．存在性问题的解题步骤[典例6]如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)经过点P1，32，离心率e＝12，直线l的方程为x＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经