2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑术语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量

-1-1．4.1全称量词1．4.2存在量词1．全称量词和全称命题全称量词对所有的、对任意一个、□01对一切、□02对每一个、□03任给符号□04∀全称命题□05含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“□06∀x∈M，p(x)”2．存在量词和特称命题存在量词存在一个、至少有一个、□07有一个、□08对某个、□09有些、□10有的符号□11∃特称命题□12含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号记为“□13∃x0∈M，p(x0)”1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个全称命题可以包含多个变量．()(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．()(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(1)(教材改编P23T1,2)下列命题中，假命题是()A．∀x∈R,3x－20B．∀x∈N*，(x－2)20C．∃x∈R，lgx0≤2D．∃x∈R，tanx0＝2(2)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________(填“全称”或“存在”)量词．(3)“负数没有对数”是________(填“全称”或“特称”)命题．(4)若命题“∀x∈(3，＋∞)，xa”是真命题，则a的取值范围是________．-2-答案(1)B(2)有些存在(3)全称(4)(－∞，3]探究1全称命题与特称命题的判断例1判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)自然数的平方大于或等于零；(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；(3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列nn＋1，总存在正整数n0，使得an0与1之差的绝对值小于0.01.[解](1)是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0.(2)是特称命题，表示为∃(x0，y0)∈{(x，y)|x2＋y2＝1}，满足|x0－y0＋1|2＝1.(3)是特称命题，∃f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数．(4)是特称命题，∃n0∈N*，|an0－1|0.01，其中an0＝n0n0＋1.拓展提升判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．【跟踪训练1】判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)有些素数的和仍是素数；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．解(1)可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故为特称命题．(3)含有存在量词“有些”，故为特称命题．(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．探究2全称命题与特称命题的真假-3-例2判断下列命题的真假．(1)有些三角形的重心在某一边上；(2)∃x0，T≠2π，使sin(x0＋T)＝sinx0；(3)∀x∈R，x2＋20；(4)所有的直线都有斜率．[解](1)三角形的三条边的中线的交点叫做三角形的重心，所有三角形的重心都在三角形内部，所以有些三角形的重心在某一边上是假命题．(2)∃x0＝π4，T＝π2，使sinπ4＋π2＝cosπ4＝sinπ4＝22，所以是真命题．(3)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥20，即x2＋20.所以命题“∀x∈R，x2＋20”是真命题．(4)当直线的倾斜角等于90°时不存在斜率，故所有的直线都有斜率是假命题．拓展提升1.全称命题的真假判断一般从全称命题为假命题入手，寻找使其为假命题的反例，找不到，再从证明∀x∈M，p(x)成立入手，判定其为真命题．2．特称命题的真假判断一般从特称命题为真命题入手，寻找使其为真命题的特例，找不到，再从证明∀x∈M，p(x)不成立入手，证明其为假命题．【跟踪训练2】判断下列命题的真假．(1)任意两向量a，b，若a·b0，则a，b的夹角为锐角；(2)∃x0，y0为正实数，使x20＋y20＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P.解(1)因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉0，所以cos〈a，b〉0，又0≤〈a，b〉≤π，所以0≤〈a，b〉π2，即a，b的夹角为零或锐角．故它是假命题．(2)因为x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x0，y0为正实数，使x20＋y20＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．探究3含有量词的命题的应用例3(1)已知命题“∀x∈[1,2]，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围；(2)已知命题q：∃x∈[0，π]，使得sinx＋cosx＝m有解为真命题，求实数m的取值范-4-围．[解](1)∵“∀x∈[1,2]，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0在x∈[1,2]恒成立．又y＝x2在[1,2]上单调递增，∴y＝x2－m的最小值为1－m.∴1－m≥0，得m≤1.∴实数m的取值范围是(－∞，1]．(2)命题q为真，即方程sinx＋cosx＝m在x∈[0，π]上有解，设f(x)＝sinx＋cosx，∴m的取值范围就是f(x)＝sinx＋cosx在[0，π]上的值域．∵f(x)＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4.而x∈[0，π]，∴x＋π4∈π4，5π4，∴sinx＋π4∈－22，1，故f(x)∈[－1，2]，∴m的取值范围为[－1，2]．[条件探究]若把例3(1)中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解∵“∃x∈[1,2]，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0在x∈[1,2]有解．又函数y＝x2在[1,2]上单调递增，∴y＝x2的最大值为22＝4.∴4－m≥0，即m≤4，∴实数m的取值范围是(－∞，4]．拓展提升应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．-5-【跟踪训练3】若方程cos2x＋2sinx＋a＝0有实数解，求实数a的取值范围．解∵cos2x＋2sinx＋a＝0，∴a＝2sin2x－1－2sinx＝2(sin2x－sinx)－1，∴a＝2sinx－122－32.又－1≤sinx≤1，∴－32≤2sinx－122－32≤3.故当－32≤a≤3时，方程a＝2sinx－122－32有实数解，所以，所求实数a的取值范围是－32，3.1.有些全称命题和特称命题没有定义中的量词，需要自己“翻译”，找出其中的量词，才可以判断其是全称命题还是特称命题，进而再判断其真假.2.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.3.判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题.1．下列命题是“∀x∈R，x23”的另一种表述方法的是()A．有一个x∈R，使得x23B．对有些x∈R，使得x23C．任选一个x∈R，使得x23D．至少有一个x∈R，使得x23答案C解析“∀x∈R，x23”是全称命题，改写时应使用全称量词．2．“a∥α，则a平行于平面α内的任一直线”是()A．全称命题B．特称命题C．不是命题D．真命题答案A解析由全称命题的定义知，命题是全称命题．故选A.3．设非空集合A，B满足A⊆B，则()A．∃x0∈A，使得x0∉BB．∀x∈A，有x∈BC．∃x0∈B，使得x0∉AD．∀x∈B，有x∈A-6-答案B解析因为非空集合A，B满足A⊆B，所以A中元素都在B中，即∀x∈A，有x∈B.4．特称命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是________(填“真”或“假”)命题．答案假解析因为∀x∈R，|x|≥0，所以|x|＋2≥2，不存在x0∈R，使|x0|＋2≤0.5．判断下列命题是全称命题还是特称命题？并判断其真假．(1)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；(2)每个二次函数的图象都与x轴相交；(3)若对所有的正实数，不等式m≤x＋1x都成立，则m≤2；(4)如果对任意的正整数n，数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b为常数)，那么数列{an}为等差数列．解(1)特称命题．∵x2＋x＋8＝x＋122＋3140，∴命题为假命题．(2)全称命题，假命题．如存在y＝x2＋x＋1与x轴不相交．(3)全称命题．∵x是正实数，∴x＋1x≥2x·1x＝2(当且仅当x＝1时“＝”成立)．即x＋1x的最小值是2，而m≤x＋1x，从而m≤2.所以这个全称命题是真命题．(4)全称命题．∵Sn＝an2＋bn，∴a1＝a＋b.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn－a(n－1)2－b(n－1)＝2na＋b－a，又n＝1时，a1＝a＋b也满足上式，所以an＝2an＋b－a(n∈N*)，从而数列{an}是等差数列，即这个全称命题是真命题．