（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第三层备考篇 专题二 4大数学思想系统归纳 第1讲 函数与方

1第1讲函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组或不等式组)来使问题获解.方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.应用(一)借助“函数关系”解决问题在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解.[例1]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝32，an＋2an＋1＝0，则Sn－1Sn的最大值与最小值的积为________.[解析]因为an＋2an＋1＝0，所以an＋1an＝－12，所以等比数列{an}的公比为－12，因为a1＝32，所以Sn＝321－－12n1－－12＝1－－12n.①当n为奇数时，Sn＝1＋12n，Sn随着n的增大而减小，则1＜Sn≤S1＝32，故0＜Sn－1Sn≤56；②当n为偶数时，Sn＝1－12n，Sn随着n的增大而增大，则34＝S2≤Sn＜1，故－712≤Sn－1Sn＜0.综上，Sn－1Sn的最大值与最小值分别为56，－712.故Sn－1Sn的最大值与最小值的积为56×－712＝－3572.2[答案]－3572[技法领悟]数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平.[应用体验]1.已知等差数列{an}满足3a4＝7a7，a10，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn取得最大值时n＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，∵3a4＝7a7，∴3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，∴4a1＝－33d.∵a10，∴d0，Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n－334d＋n（n－1）2d＝d2n2－352n＝d2n－3542－3542，∴n＝9时，Sn取得最大值.答案：92.(2018·北京高考)若△ABC的面积为34(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝________，ca的取值范围是________.解析：由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac，∴a2＋c2－b2＝2accosB.又∵S＝34(a2＋c2－b2)，∴12acsinB＝34×2accosB，∴tanB＝3，∵B∈0，π2，∴∠B＝π3.又∵∠C为钝角，∴∠C＝2π3－∠Aπ2，∴0∠Aπ6.3由正弦定理得ca＝sin2π3－∠AsinA＝32cosA＋12sinAsinA＝12＋32·1tanA.∵0tanA33，∴1tanA3，∴ca12＋32×3＝2，即ca2.答案：π3(2，＋∞)应用(二)转换函数关系解决问题在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解.[例2]已知函数h(x)＝xlnx与函数g(x)＝kx－1的图象在区间1e，e上有两个不同的交点，则实数k的取值范围是()A.1＋1e，e－1B.1，1＋1eC.(1，e－1]D.(1，＋∞)[解析]令h(x)＝g(x)，得xlnx＋1＝kx，即1x＋lnx＝k.令函数f(x)＝lnx＋1x，若方程xlnx－kx＋1＝0在区间1e，e上有两个不等实根，则函数f(x)＝lnx＋1x与y＝k在区间1e，e上有两个不相同的交点，f′(x)＝1x－1x2，令1x－1x2＝0可得x＝1，当x∈1e，1时，f′(x)＜0，函数是减函数；当x∈(1，e]时，f′(x)＞0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f(1)＝1，而f1e＝－1＋e，f(e)＝1＋1e，又－1＋e＞1＋1e，所以，函数的最大值为e－1.所以关于x的方程xlnx－kx＋1＝0在区间1e，e上有两个不等实根，则实数k的取值范围是1，1＋1e.故选B.[答案]B[技法领悟]4发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y＝1x＋lnx的单调性巧妙地求出实数k的取值范围.此法也叫主元法.[应用体验]3.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px4x＋p－3成立的x的取值范围是________.解析：设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则当x＝1时，f(p)＝0.所以x≠1.函数f(p)在[0，4]上恒为正，等价于f（0）0，f（4）0，即（x－3）（x－1）0，x2－10，解得x3或x－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)4.已知函数f(x)＝a3x3－32x2＋(a＋1)x＋1，其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)已知不等式f′(x)＞x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，求实数x的取值范围.解：(1)f′(x)＝ax2－3x＋a＋1，由于函数f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，即a－3＋a＋1＝0，∴a＝1.(2)由题设，知ax2－3x＋a＋1＞x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞)都成立，即(x2＋2)a－x2－2x＞0对任意a∈(0，＋∞)都成立.设g(a)＝(x2＋2)a－x2－2x(a∈R)，则对任意x∈R，g(a)为单调递增函数(a∈R)，∴对任意a∈(0，＋∞)，g(a)＞0恒成立的充要条件是g(0)≥0，即－x2－2x≥0，∴－2≤x≤0.于是x的取值范围是[－2，0].应用(三)构造函数关系解决问题在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现.特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移.5[例3]已知函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，a∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.[解](1)由f(x)＝ex－2x＋2a，知f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2.当xln2时，f′(x)0，故函数f(x)在区间(－∞，ln2)上单调递减；当xln2时，f′(x)0，故函数f(x)在区间(ln2，＋∞)上单调递增.所以f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a.(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x∈R)，则g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，由(1)知g′(x)min＝g′(ln2)＝2－2ln2＋2a.又aln2－1，则g′(x)min0.于是对∀x∈R，都有g′(x)0，所以g(x)在R上单调递增.于是对∀x0，都有g(x)g(0)＝0.即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.[技法领悟]一般地，要证f(x)g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式.若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.[应用体验]5.(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE―→·BE―→的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3解析：选A如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接AC.由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0，0)，A(1，0)，B32，32，C(0，3).设E(0，y)(0≤y≤3)，则AE―→＝(－1，y)，BE―→＝－32，y－32，6∴AE―→·BE―→＝32＋y2－32y＝y－342＋2116，∴当y＝34时，AE―→·BE―→有最小值2116.故选A.6.(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，若a＝f（e）e，b＝f（ln2）ln2，c＝－f（－3）3，则a，b，c的大小关系正确的是()A.a＜c＜bB.b＜c＜aC.a＜b＜cD.c＜a＜b解析：选D由题意，构造函数g(x)＝f（x）x，当x＞0时，g′(x)＝xf′（x）－f（x）x2＜0，∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减.∵函数f(x)为奇函数，∴函数g(x)是偶函数，∴c＝f（－3）－3＝g(－3)＝g(3)，又a＝g(e)，b＝g(ln2)，且3＞e＞1＞ln2＞0，∴g(3)＜g(e)＜g(ln2)，∴c＜a＜b.故选D.应用（四）构造方程形式解决问题分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面.[例4](2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若∠AMB＝90°，则k＝________.[解析]由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1，0)，设直线方程为y＝k(x－1)，直线方程与y2＝4x联立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，x1＋x2＝2k2＋4k2.由M(－1，1)，得AM―→＝(－1－x1，1－y1)，BM―→＝(－1－x2，1－y2).由∠AMB＝90°，得AM―→·BM―→＝0，∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，7∴1＋2k2＋4k2＋1＋k21－2k2＋4k2＋1－k2k2＋4k2－2＋1＝0，整理得4k2－4k＋1＝0，解得k＝2.[答案]2[技法领悟]本题由∠AMB＝90°，知AM―→·BM―→＝0，从而得出关于k的方程，问题即可解决.[应用体验]7.(2019·福建省质量检查)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝9，S8－S5＝66，则a33＝()A.82B.97C.100D.115解析：选C设等差数列{an}的公差为d，则由a8－a5＝9，S8－S5＝66，得（a1＋7d）－（a1＋4d）＝9，（8a1＋28d）－（5a1＋10d）＝66，解得d＝3，a1＝4