（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 1 第1讲 数列的概念与简单表示

1第六章数列与数学归纳法知识点最新考纲数列的概念和简单表示法了解数列的概念和表示方法(列表、图象、公式).等差数列理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式及其应用．了解等差数列与一次函数的关系．会用数列的等差关系解决实际问题.等比数列理解等比数列的概念．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用．了解等比数列与指数函数的关系．会用数列的等比关系解决实际问题.数学归纳法会用数学归纳法证明一些简单数学问题.第1讲数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项与序号n之间的关系式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an与an＋1的关系式或a1，a2和an－1，an，an＋1的关系式等表示数列的方法3.an与Sn的关系2若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.4．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an按其他标准分类摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．()(2)所有数列的第n项都能使用通项公式表示．()(3)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．()(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．()(5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．()(6)若数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×[教材衍化]1．(必修5P33A组T4改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（－1）nan－1(n≥2)，则a5＝________．解析：a2＝1＋（－1）2a1＝2，a3＝1＋（－1）3a2＝12，a4＝1＋（－1）4a3＝3，a5＝1＋（－1）5a4＝23.答案：232．(必修5P33A组T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________．答案：5n－4[易错纠偏]3(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集或其子集{1，2，…，n}；(2)求数列前n项和Sn的最值时忽视项为零的情况；(3)根据Sn求an时忽视对n＝1的验证．1．在数列－1，0，19，18，…，n－2n2中，0.08是它的第________项．解析：依题意得n－2n2＝225，解得n＝10或n＝52(舍)．答案：102．在数列{an}中，an＝－n2＋6n＋7，当其前n项和Sn取最大值时，n＝________．解析：由题可知n∈N*，令an＝－n2＋6n＋7≥0，得1≤n≤7(n∈N*)，所以该数列的第7项为零，且从第8项开始an0，则S6＝S7且最大．答案：6或73．已知Sn＝2n＋3，则an＝________．解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝5，n＝1，2n－1，n≥2.答案：5，n＝1，2n－1，n≥2由an与Sn的关系求通项公式an(高频考点)an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，属容易题．主要命题角度有：(1)利用an与Sn的关系求通项公式an；(2)利用an与Sn的关系求Sn.角度一利用an与Sn的关系求通项公式an(2020·杭州二中高三模考)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－2n＋1，求an.【解】设a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，当n＝1时，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2，当n≥2时，nan＝Tn－Tn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，4因此an＝6n－5n，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝2，n＝1，6n－5n，n≥2.角度二利用an与Sn的关系求Sn设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．【解析】由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，两边同时除以Sn＋1Sn，得1Sn＋1－1Sn＝－1，故数列1Sn是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1Sn＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－1n.【答案】－1n(1)已知Sn求an的三个步骤①先利用a1＝S1求出a1.②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．(2)Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．1．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝4，n＝1，2·3n－1，n≥2.答案：4，n＝1，2·3n－1，n≥22．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________．解析：法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an，所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，5即an＋1an＝32(n≥2)，又a2＝12，所以an＝12×32n－2(n≥2)．当n＝1时，a1＝1≠12×32－1＝13，所以an＝1，n＝1，12×32n－2，n≥2，所以Sn＝2an＋1＝2×12×32n－1＝32n－1.法二：因为S1＝a1，an＋1＝Sn＋1－Sn，则Sn＝2(Sn＋1－Sn)，所以Sn＋1＝32Sn，所以数列{Sn}是首项为1，公比为32的等比数列，所以Sn＝32n－1.答案：32n－1由递推关系求数列的通项公式分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＝nn－1an－1(n≥2，n∈N*)；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．【解】(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.(2)当n≥2，n∈N*时，an＝a1×a2a1×a3a2×…×anan－1＝1×21×32×…×n－2n－3×n－1n－2×nn－1＝n，当n＝1时，也符合上式，6所以该数列的通项公式为an＝n.(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以an＋1＋1an＋1＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1.(变条件)若本例(3)条件“an＋1＝3an＋2”变为“an＋1＝3an＋3n＋1”，其他不变，求an.解：因为an＋1＝3an＋3n＋1，所以an＋13n＋1＝an3n＋1，所以数列an3n是以13为首项，1为公差的等差数列．所以an3n＝13＋(n－1)＝n－23，所以an＝n·3n－2·3n－1.由数列递推式求通项公式的常用方法1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋1n（n＋1），则an＝________．解析：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1n－1－1n＋1n－2－1n－1＋…＋12－13＋1－12＋2＝3－1n.答案：3－1n2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，则an＝________．解析：由于an＋1an＝2n，7故a2a1＝21，a3a2＝22，…，anan－1＝2n－1，将这n－1个等式叠乘，得ana1＝21＋2＋…＋(n－1)＝2n（n－1）2，故an＝2n（n－1）2.答案：2n（n－1）2数列的性质(高频考点)数列的性质主要有单调性、周期性及最值问题，是高考的热点，多以选择题或填空题形式考查，多存在一定难度．主要命题角度有：(1)数列的单调性；(2)数列的周期性；(3)数列的最值．角度一数列的单调性已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．【解析】{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1)．(*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.【答案】(－3，＋∞)角度二数列的周期性(2020·杭州中学高三质检)在数列{an}中，a1＝5，(an＋1－2)(an－2)＝3(n∈N*)，则该数列的前2018项的和是________．【解析】依题意得(an＋1－2)(an－2)＝3，(an＋2－2)·(an＋1－2)＝3，因此an＋2－2＝an－2，即an＋2＝an，所以数列{an}是以2为周期的数列．又a1＝5，因此(a2－2)(a1－2)＝3(a2－2)＝3，故a2＝3，a1＋a2＝8.注意到2018＝2×1009，因此该数列的前2018项的和等于1009(a1＋a2)＝8072.【答案】8072角度三数列的最值已知数列{an}的前n项和Sn＝－12n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列{an}的通项公式．【解】因为Sn＝－12n2＋kn＝－12(n－k)2＋12k2，其中k是常数，且k∈N*，8所以当n＝k时，Sn取最大值12k2，故12k2＝8，k2＝16，因此k＝4，从而Sn＝－12n2＋4n.当n＝1时，a1＝S1＝－12＋4＝72；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－12n2＋4n－[－12(n－1)2＋4(n－1)]＝92－n.当n＝1时，92－1＝72＝a1，所以an＝92－n.(1)解决数列单调性问题的三种方法①作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．②作商比较法，根据an＋1an(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．1．设函数f(x)＝（3－a）x－3（x≤7），ax－6（x＞7），数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是()A.94，3B.94，3C．(1，3)D．(2，3)解析：选D.因为数列{an}是递增数列，又an＝f(n)(n∈N*)，所以3－a＞0，a＞1，f（8）＞f（7）⇒2＜a＜3.2．已知数列{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝