工程数学复变函数积分变换场论59355

第五章第五章留数留数第三节对数留数与辐角定理第一节留数第二节留数的应用第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--22--第一节留数一留数的定义及留数定理二留数的计算规则三在无穷远点的留数第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--33--一留数的定义及留数定理设0z是函数()fz的孤立奇点，其中101()2()nnCfzcdzizz为C0||zz内的一条环绕0z的正向简单闭曲线。如果我们取1n则有0z的某个去心领域0||zz内函数()fz可以展开成洛朗级数，那么在110010()()()fzczzcczz即第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--44--11()(5.1.1)2Ccfzdzi定义设0z为函数()fz的孤立奇点，称()fz在0z的某个去心领域00||zz内的洛朗级数中的的系数10()zz1c为函数()fz在点0z处的留数，记作0Res[(),]fzz。即01Res[(),](5.1.2)fzzc从而有01Res[(),]()2(5.1.3)Cfzzfzdzi其中C为00||zz内的环绕0z正向简单闭曲线。第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--55--C定理1（留数定理）设函数()fz在有向简单闭曲线上解析，在C的内部除有限个孤立奇点12,,,nzzz处处解析，则1()2Res[(),](5.1.4)nkkCfzdzifzzC1z2znzkz1C2CkCnC证将函数()fz在C的内部孤立奇点(1,2,,)kzkn用互不相交，互不包含的正向简单闭曲线kC围绕起来，由复合闭路定理有1()()knkCCfzdzfzdz第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--66--由(5.1.3)式则有(5.1.4)成立。证明完毕根据留数定理可得：计算在函数在封闭曲线C上的积分可以转化成计算此函数在C内部的各奇点的留数。函数()fz在孤立奇点0z处的留数除了用(5.1.2)计算外，还可以用下面规则计算。第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--77--二留数的计算规则00lim()()zzzzfz如果0z是函数()fz的可去奇点，则()fz在0z的某个去心领域内的洛朗级数不含有0zz的负幂次，即10()zz的系数1c为零，因此如果0z是函数的可去奇点，则0Res[(),]0fzz规则I如果0z是函数()fz的一级极点，0Res[(),]fzz规则II如果0z是函数()fz的m级极点，01011lim[()()](1)!mmmzzdzzfzmdz则(5.1.5)则0Res[(),]fzz(5.1.6)第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--88--事实上，其中0,mc因此0()()mzzfz101[()()]mmmdzzfzdz的正幂项}所以1c即(5.2.6)成立，特别1m时，就是(5.1.5)式。1010()()()mmfzczzczz由于110()mmcczz1(1)!mc0{zz01011lim[()()](1)!mmmzzdzzfzmdz第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--99--规则III设()(),()QzfzPz其中(),()PzQz在0z处解析，则0Res[(),]fzz根据条件可知0z是函数()fz的一级极点，根据规则I可得：0Res[(),]fzz000()lim()()zzQzPzPzzz0()0,Pz且00()()QzPz(5.1.7)事实上，00()lim[()]()zzQzzzPz00()()QzPz0()0,Pz0()0,Qz第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--1010--例1求下列函数在各孤立奇点的留数。1);sinzz22);1zz213);(1)zz解1)0z是函数sinzz的可去奇点，Res[,0]sinzz(1,2,)zkk是函数sinzz的一级极点，则III得Res[,]sinzkz所以由规0coszkzz(1)kk第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--1111--2)zi是函数21zz一级极点，由规则III2Res[,]1ziz2Res[,]1ziz3)0z是函数21(1)zz的一级极点,1z是函数的二级极点,由规则I21Res[,0](1)zz由规则II21Res[,1](1)zz22);1zz213);(1)zz2zizz1,22zizz12201lim(1)zzzz12211lim[(1)](1)zzzz11lim()zz211limzz1第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--1212--4)1z是函数11ze的本性奇点，利用留数的定义计算函数的留数，由于11ze所以11Res[,1]ze114)ze211112(1)zz0|1|z01(1)!nnzn1第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--1313--例2计算下列围道积分1）|1|;sinzzdzz2）22||2;(1)zzdzz3）2||2(1)zzedzzz解0,z且sinzz为可去奇点，|1|z内部函数1)所以|1|sinzzdzz2[0i落在有的奇点,z0zz为一级极点，2[Res[,0]sinzziRes[,]]sinzz]coszzz22i22||214)(22)zzedzzzz第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--1414--2)的奇点,zi22(1)zz||2z的内部函数因此22||2(1)zzdzz222[Res[,](1)ziiz2）22||2;(1)zzdzz落在有且是二级极点，22Res[,]](1)ziz22[lim()()zizizi2lim()]()zizzi22[lim()ziziizi2lim]()ziizzi0第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--1515--3)0,z函数2(1)zezz为一级极点，1,z所以为二级极点，且3)2||2(1)zzedzzz落在||2z内部的奇点有0z1z2||2(1)zzedzzz22[Res[,0](1)zeizz2Res[,1]](1)zezz202[lim(1)zzeiz1lim[]]zzez2[1i21(1)lim]zzezz2i第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--1616--22||214)(22)zzedzzzz4)被积函数落在||2z的奇点有0,z且全部为一级极点。1,zi所以22||21(22)zzedzzzz2[Res[(),0]ifz+Res[(),1]fzi+Res[(),1]]fzi2012[lim(22)zzeizzz211lim(1)zziezzi211lim](1)zziezzi12[2i11(1)4ie11(1)]4ie1cos1ei第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--1717--说明：利用留数的计算规则计算留数，在大多数下非常方便，但有时也是十分繁琐的，例如0z是函数71coszz的五级极点，如果我们用规则II计算则有71cosRes[,0]zz442011coslim4!zdzdzz这样要求一个分式的四阶导数，如此问题我们可以用留数的定义求留数，显然是十分复杂的，71coszz由于531116!8!2!4!zzzz0||z2701(1)(1)(2)!nnnzzn271(1)(2)!nnnzn第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--1818--因此71cosRes[,0]zz在计算积分7||11cos,zzdzz我们又可用高阶导数公式7||11coszzdzz16!(6)02(1cos)6!ziz26!i02cos6!ziz第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--1919--例3设无零点函数()fz在正向简单闭曲线C上解计算()()Cfzdzfz的内部除一个n级极点0z外也解析，在C解由于0z是函数()fz的n级极点，且在C上及C的内部()fz无其他的奇点，因此在C及内部有C0()()()nzfzzz其中()z解析，且()0.z所以有()fz析，且无零点，010()()()()nzzznzzz第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--2020--()()fzfz()()Cfzdzfz0()()()nzfzzz()fz010()()()()nzzznzzz0nzz()()zz0Cndzzz()()Czdzz2ni第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--2121--三在无穷远点的留数设函数()fz在圆环域||Rz解析，C为此园环域内一条环绕原点的正向简单闭曲线，称积分1()2Cfzdzi为函数()fz在无穷远点的留数，记作Res[(),]fz即1Res[(),]()(5.1.8)2Cfzfzdzi由于111()()22CCfzdzfzdzcii第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--2222--其中1c为函数()fz在圆环域||Rz内的洛朗级数中1z的系数，因此1Res[(),](5.1.9)fzc定理2设函数()fz在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，则()fz在所有的奇点（包含无穷远点）的留数的和为零。证设除()fz的所有奇点为12,,,,nzzz作包围原点的并且包围(1,2,,)kzkn的正向简单闭曲线,C利用函数在无穷远点的留数的定义与留数定理有点外，第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--2323--1Res[(),]Res[(),]nkkfzfzz1()2Cfzdzi规则ⅣRes[(),]fz如果无穷远点是函数()fz的孤立奇点，由于()fz在圆环域||Rz解析，作正向圆周:||(),CzR根据在无穷原点留数的定义得Res[(),]fz201()2iifeiedi令ize令1()2Cfzdzi0则211Res[(),0]fzz(5.1.10)事实上,1()2Cfzdzi第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--2424--201()2iifeiedi11,iseddsis21||111()2sfdsiss211Res[(),0]fzz因为函数()fz在||Rz解析,所以211()fss在10||sR解析，110,R由留数的定义而函数第一节第一节留数留数第五章第五章留数留数吴新民--2525--例4计算下列积分4||211)1zdzz11212||32)(4)(1)zzzedzzz解函数411z的四个奇点22(1),(1)22ii全部在||2z的内部，4||211zdzz42112Res[,0]1izz242Re