复变函数工科第五讲

第二章§3初等函数1、指数函数定义exp(cossin)zxiyxwezeeyiycossiniyeyiy欧拉公式：注：定义域为全平面当y＝0时，它即为实变量指数函数一、指数函数定义3.1对于任何复数z=x+iy,规定2指数函数的性质z(2)||0,arg()e0Arg()2,Zzxzzeeeyeykkz(3)e)=;zzee在复平面内处处解析,且((1)Im()0,,()xzzxRfze当即时复指数函数与实指数函数保持一致.(4)加法定理1212()zzzzeee(5)ez是以2i为基本周期的周期函数6lim,zzee()极限不存在即无意义因为：当z沿实轴趋于+∞时ez∞;当z沿实轴趋于-∞时,ez0.6limzze()极限不存在的说明5ze()的周期性的说明2i是ez的周期ZkikTzfTzf,),()(2.)()sin(cos)(,为任意整数事实上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz222222上述这个性质是实变指数函数所没有的。（7）解析性:在全平面上解析，且()zzee34ie例1计算的值。334333cossin442211222222ieeieieei解：二、对数函数1.定义对数函数定义为指数函数的反函数.满足方程的函数称为对数函数，记作．(0)wzezLnwz()wfz注：注意符号的正确书写，以免发生混乱。ln||,0LnwzziArgzz是多值函数事实上:容易看到,u是单值的,而由幅角函数的多值性知道,v是多值的；因为幅角,所以，则由定义知道，，如果令ivuwrezi所以有：,iivuree),,,(,ln2102kkvru的是z2Argz,vk0Lnzln|z|iArgwz,z若规定Argz取主值argz,则得Lnz的一个单值“分支”，记作:lnz,称为Lnz的主值支，即：则这时，有1,2,k当z=x0时,Lnz的主值lnz=lnx，即实对数函数。lnln||argzziz,lnarg||lnikzikzizzw22Ln三种对数函数的联系与区别：函数单值与多值xlnzLnlnz单值多值单值定义域所有正实数所有非零复数所有非零复数注解一个单值时，0xzxln为zln分支为例1求解因为-1的模为1，其辐角的主值为，所以而又因为i的模为1，而其辐角的主值为，所以11ln(),Ln(),lnLnii和ln(1)ln1iiLn(1)2(21)(0,1,2,)ikikik2lnln1,22iii1Ln2(2)22iikiki),2,1,0(k2.例题:3|23|13arg(23)arctan2ii解因为，3Ln(23i)ln13(arctan2k)2i所以有:13ln13(arctan2)22(0,1,2,)ikk2(23)Lni例计算的值。知：解：由对数函数的定义)32arg(|32|ln)32ln(iiii13ln13arg(arctan)22i(23)lni例3计算的值。在实变函数中,负数无对数,上例说明在复数范围内不再成立.而且正实数的对数也是无穷多值的.因此,复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.练习求：n(),(34)LiLni和它们的主值122ln()ln,iii解：222n()ln(),Liikiiki120122(),,,kik1Ln;wz、对数函数是定义在整个复平面减去原点的多值函数3.性质:4.解析性:1()lnzlnzzz主值分支在除去原点和负实轴的复d平面上解析，并且有：d||2LnzlnzkiLnz由知：的各分支具有上述解析性。（运算性质）：、对数函数的代数性质2LnLn)Ln(2121zzzz和幅角的加法一样上面的等式应该理解为集合相等，并且下面的等式将不再成立：LnLn)/Ln(2121zzzz2n1Lnz2Ln,LnzLnzzn2nLn2ln||2arg2,11Lnln||arg2zzizkizzizkinn而应是:(0)Lnzwzez为复常数,规定当a为正实数,且z=0时,还规定0az三、幂函数1.定义:注：一般也是多值函数。wzLnzLnzwzee而非2(1)例1求22Ln(1)(1)e解222ikiee2[ln1(arg(1)2)]ike2(21)kie(0,1,2,)k,nwz1、当是正整数时是单值函数[ln||(arg2)]arg||nnLnznzizkninzwzeeze2.性质:1(nwznn2、当为正整数)时，是值函数111[ln||(arg2)]1arg2||,(0,1,2,,1)Lnzzizknnnzkinnwzeezekn0,3、当是时;10Lnz00eez(0ppqqq4、当是有理数时，即与为互素的整数，）：Lnzln2ppppqqqqzikzee012,1pqkqqq由于与为互素，所以不难看到，当取，，，时，得到个不同的值，即这时幂函数是一个值的函数；5、当是无理数或复数时，幂函数是无穷多值函数；2Lni[ln1(arg2)][0(2)]22(0,1,2,)iiiiikiikkieeeek例如arg222Ln22[ln2(2)]2ln2222ikkieee22(cosln2sinln2)(k0,1,2,,)kei1(1)Ln2(1)[(arg22)](1)[ln22]lln22ln2n222iiiikikikiikeeee(ln22)(ln22)kike2222(0,1,2,)kiek\{Im0,Re0}wzCzz的相应分支在（即：除去原点和负实轴）上解析。3.解析性.2112的值和、例：求iiiikikLneee22)21(ln21221解cos(22)sin(22)kik),,(210kkkiiiiieeei221Lni2)](arg[ln),,,(210k1112221222()Ln2()[ln(arg)]()[ln)]iiiikikieee)(ln)(lnlnlnkikkiikee22222222),)lnsinln(cos2,1,0,(k2222iek课堂作业：.的值、求3222i)sin()cos()()(ln3434222322323232kkkiikiiLniieeei),,(210kikkieee22222222Ln2222ln)](arg[ln),,,(2102222keik四、三角函数1.三角函数的定义：由于Euler公式，对任何实数x，我们有：所以有因此,对任何复数z,定义正弦函数和余弦函数如下：2cos2sinizizizizeezieezxixexixeixixsincos,sincos22cos,sin,ixixixixeeeexxi解根据定义,有)21(sin,cosii例求(1)sinsin,coscos.zxRzxzx当时:是实三角函数(2)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数..sin)(cos,cos)(sinzzzz2.正弦与余弦函数的性质(3)sin,cos.zz是奇函数是偶函数.cos)cos(,sin)sin(zzzz遵循通常的三角恒等式，如.1cossin,sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos()1(22212121212121zzzzzzzzzzzzzz.cos)2cos(,sin)2sin(zzzz(4)sincos2.zz和都是以为周期的函数(5)sinz的零点(i.e.sinz=0的根)为z=kcosz的零点(i.e.cosz=0的根)为z=(k+1/2)k=0,1,2,···,n,···2sin00izizizizeezeie21izezkkZ(注意：这是与实变函数完全不同的)(6)sinz,cosz在复数域内均是无界函数命题不真1|sin|,1|cos|zz例如z=2i时，有,22sin,122cos2222ieeieei即:cosz与sinz不再是有界函数,因此,|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立.3.其他复变数三角函数的定义,cossintanzzz正切函数,sincoscotzzz余切函数,cos1seczz正割函数.sin1csczz余割函数五、小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.指数函数具有周期性(2πk)i周期为3.三角正弦与余弦不再具有有界性2.负数无对数的结论不再成立思考题实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?思考题答案两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,sin1cos1.zz与不再成立!!!作业P37页9,181.（）A.无定义B.0C.πiD.(2k+1)πi(k为整数)2.求复数1-i的模为();-1-i的模为()3.ln(-1)求4i)}-Im{Ln(3的值求