高中数学概率重点问题探讨

第1页共8页高中数学中古典概率应用上之易错处探究一、基本概念（1）分类计数原理：nmmmN21（2）分步计算原理：nmmmN21（3）排列:一般地，从n个元素中取出m个元素（nm），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。从n个元素中取出m个元素（nm）的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号mnA表示，)1()2)(1(mnnnnAmn。（4）组合：一般地，从n个不同元素中取出m个元素（nm）并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合。从n个元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号mnC表示。!)1()2)(1(mmnnnnAACmmmnmn。（5）必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件。（6）不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件。（7）随机事件：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。（8）在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数An称为事件A发生的频数。比值nnA称为事件A发生的频率。（9）一般地，在大量重复进行同一实验时，事件A发生的频率nnA总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的频率，记作)(AP，且一次实验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一个事件A由几个基本事件组成，如果一次实验中可能出现的结果有n个，即此实验由n个基本事件组成。而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率都是n1。如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率nmAP)(。第2页共8页二、重点问题剖析1.“有放回摸球”与“无放回摸球”“有放回摸球”与“无放回摸球”主要有以下区别：（1）无放回摸球主要是指每次摸出的球放在袋外，下次再摸球时总数比前次少一；而有放回的摸球是每次摸出一球放在袋内，下次再摸球时袋内球的总数不变。（2）“无放回摸球”各次抽取不是相互独立的，而“有放回摸球”每次是相互独立的。下面通过一个例题来进一步的说明“无放回摸球”与“有放回摸球”的区别。例1袋中有1，2，3，…，N号球各一个，采用①无放回，②有放回的两种方式摸球，试求在第k次摸球时首先摸到一号球的概率。解：设iB为事件“第i次摸到一号球”),2,1(ki。①无放回摸球若把k次摸出的k个球排成一排，则从N个球任取k个球的每个排列就是一个基本事件，因此基本事件的总数为以数码1，2，…，N中任取k个数码的排列数，kNPn。下面求事件kB包含的基本事件数m，事件kB可分两步完成：先在第k个位置上排上1号球，只有一种排法，再在前1k个位置排其它1N个球，共有11kNP种排法，由乘法原理知，事件kB包含的基本事件数为11111kNkNPPm，从而NPPnmBPkNkNk1)(11。②有放回的摸球因为有放回摸球，每次袋中都有N个球，共摸k次，故共有kN种可能结果，既基本事件总数为kNn。事件kB可分为两步完成：前1k次未摸到1号球，共有1kNm，于是kkrNNnmBP1)1()(。分析：对于有放回摸球与无放回摸球题型，在审题时一定要注意是有放回还是无放回，然后根据题意来考虑排列与组合的应用，总之，一定要抓住题目的隐含条件与已知条件的关系，所要求的问题与已知条件之间的连接点，这样才能够很快的解决问题而不至于错误。2.“隔板法”第3页共8页隔板法是插空法的一种特殊情况，它的使用非常广泛，能解决一大类组合问题。下面用一个具体的例子来说明它的使用的优越性。例2将9个相同的小球放到六个不同的盒子里，每个盒子至少放一个球，有多少种不同放法。解法一：先在盒子里各放一个球，再把剩下的3个球放到6个盒子里，分三类：①3个球放到一个盒子里，有16C种放法；②3个球放到两个盒子里，球数分别为2，1，共26P种放法；③3个球放到3个盒子里，每个盒子各一个球，共36C种放法。根据分类计数原理，共有56262616CPC种放法。解法二（隔板法）：把6个盒子看做由平行的7个隔板组成的，每一个满足要求的放法、相当于9个小球和7个隔板的一个排列，其中2个隔板在两头，任何2个隔板之间至少有1个球（既任何2个隔板不相邻），把两头的2个隔板拿掉，每一个满足要求的放法还相当于再排成一列的9个小球间8个空档中插入5个隔板，不同的放球方法即插隔板的方法，共有5658C种。分析：对于用隔板法解决概率问题，一般都是将问题的思考角度进行转化，使问题从多向思维向单一思维转化，然后把问题的本质找出来进行剖析，问题自然就很好理解了。上述解法2应用了对应的方法，转化为插空问题，计算比较简单，但不易理解，等理解透彻后，就会发现隔板法是非常好用的，是具有普适性的方法。但一定要注意的是应用此法的前提是小球是完全相同（不加区分），盒子是不同的，每个盒子至少放一球。例3要从高一年级8个班中产生12学生代表，每个班至少产生一名代表，则代表名额的分配的方案至少有多少种?解：这个问题如果用原始的方法来分析，是比较麻烦的额，但如果转化问题的角度，用“隔板法”来理解，这个问题就容易解决了。把12个名额看做12个相同小球，8个班看做8个不同的盒子，用隔板法知道名额分配方法共有711C种。3.分组问题分组问题时排列组合中的一个难点，主要有以下两种情况。（1）非平均分组问题在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同。例4把12人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数：①分成甲、乙、丙三组，其中甲组7人、乙组3人、丙组2人。②分成三组，其中一组7人、一组3人、一组2人。解：①先从12人中任选7人为甲组，余下5人中任选3人为乙组，剩下2人为丙组，则共有2235712CCC种不同的方法。②先从12人中任选7人为一组有712C种选法，再从余下5人中任选3人有35C种选第4页共8页法，剩下的两人为一组，共有2235712CCC种不同的选法。分析：在第一个问题中，学生很容易受到干扰，就是对于甲、乙、丙三组，和分成三组时否需要乘以33A的问题。但是由于各组的人数不同，这个问题属于非平均分组问题，虽然第一小问给出了分组的名称，但是这个并不影响最后的结果，它们的分组方法都是一样的。（2）平均分分组问题。分析：上面的非平均分组问题中，是否给出组名对结果没有影响，但在平均分组问题中一定要注意问题是否给出了具体的组名，它们的结果是不同的。例5有6本不同的书，按下列要求分配，各有多少种分发。①分给甲、乙、丙三人，每人2本；②平均分成三份。解：①从6本书中任取2本给一个人，再从剩下的4本中取2本给另外一个人，剩下的2本给最后一个人，共有22264290CCC种分法。②设平均分成三堆有x种分法，在分给甲乙、丙三人每人各2本，则应有32223642xACCC种分法。所以有22264233CCCxA种不同的分法。说明：上面例子中可以看出：两个问题都是分成三堆，每堆两本，属于平均分组问题，而（1）分到甲、乙、丙三人，属于到位问题，相当于给出了甲、乙、丙三个指定的组，但（2）没有给出组名，因而是不同的。规律：一般地，把nm个元素平均分到m个不同的位置，有(1)2nnnnnmnmnnCCCC种方法，把nm个不同元素平均分成m组有(1)2!nnnnnmnmnnCCCCm种分法。4.圆排列与重复组合问题（1）圆排列定义1：从n个不同的元素中任取()mmn个，按照一定的顺序排成圆形，叫做一个圆排列。定义2：从n个不同的元素中取出()mmn个元素的所有圆排列的个数，叫做圆排列数，用符号mnR表示。例65个朋友坐在圆桌周围时，席位排列方法有几种？解：设5个人分别为a，b，c，d，e，把他们排成一排时，排列的数目是5！，排成圆形时，像下图那样只是转了一个地方的排法被看做是一样的，所以根据乘法原理得：5555!R第5页共8页所以555!245R答：席位的排列方法有24种。命题1：n个不同的元素的圆排列数(1)!nnRn。例7有6名同学做成一圆圈做游戏，有多少种做法？解:据命题一，66(61)!120R种。答：共有120种。CBAEDABEDEADCDECBCDBABCAE命题2：从n个元素中取出()mmn个元素的圆排列数(1)!mmnnRCm。证明：从n个不同元素中取出m个元素的组合数为mnC种，而将这m个元素排成圆形由命题1共有(1)!m种方法，于是由乘法原理得(1)!mmnnRCm.（2）重复组合定义3：从n个不同的元素中任取m个元素，元素可以重复选取，不管怎样的顺序并成一组，叫做重复组合。定义4：从n个不同的元素中取出m个元素的所有重复组合的个数，叫做重复组合数，用符号mnH表示。例8有5个数1，2，3，4，5，同一个数允许选用任意次，求从中选出3个的重复组合数。解：如果从5个中选出3个时，选的都是不同的数，那么很明显组合数为35C，但是同一个数允许选用任意次，因此像（1，1，1），（1，2，1），（4，4，5），…的组合也应在算内，所以要想办法，把问题转化成选取的全是不同元素的问题，为了把上述（1，1，1），（1，2，1），（4，4，5）改成全是不同的数，先把这些数按从小到大的顺序排列起来得到（1，1，1），（1，2，1），（4，4，5）。然后第一个数不变，在第二个第6页共8页数上加1，在第三个数上加2，这就变成：（1，2，3），（1，2，4），（4，6，7）。一般地)2,1,(),,(cbacba，可以证明左右两边是一一对应的（左右各有一组互相对应，一组不能和两组以上对应）。这样，,,abc中即使有相同的元素，在上述的一一对应中，也能够改变成没有相同的元素组，所以从整体上来说，结果就成了从1，2，3，4，5，6，7的7个数中选取3个不同的元素的组合问题了，即335776535123HC。答：从1，2，3，4，5中选取3个数的重复组合数为35。命题3：从n个不同的元素中选取出m个元素的重复组合数为1mmnnmHC。例9从3，5，7，11这4个质数中任取两个相乘，同一个数允许重复使用，可以得到多少个不相同的乘积？解：根据命题3有：32442110HC个。答：可以得到10个不相等的乘积。分析：圆排列和重复组合问题时高考中的难点，学生在平时的理解过程中往往也存在很多的理解上的问题，主要是因为他们在平时的训练当中已经习惯性的接受了全排列和不重复组合的很多的例题，导致了思维的本能反应而导致错误，老师在讲解这两个知识点的时候最好能够重新给学生建立相应的知识体系，在讲完这一个知识点以后再与前两个知识点进行相应的对照理解和学习，这样可能更好的促进教学，学生也能够很好的接受。5.连排与间隔排(1)排列中的“连排”问题（我们称要求某些元素必须排在一起的排列问题为“连排”问题）：例10某班有学生38人，其中男生24人，女生14人，现将他们排成一排，女生必须排在一起的排法有多少种？我们称要求某些元素必须排在一起的排列问题为“连排”问题。解：由于14名学生必须排在一起，所以我们可以将14名学生看成1个“人”，把38人的排列问题看成24+1=25人的问题，共有2525P种，再考虑到14名学生之间的排法1414P，因此女生必须排在一起的排法种数为25142514PP种。一般地，在n个不同的元素中，某k个元素排在一起的排法种数有11nkknkkPP种。例11某班有38名同学，其中第一组的12名同学必须排在一起且第一组中的5名女同学又必须排在一起的排列方法有多少种？解：将第一组的12名同学看成一个“人”。将38名同学的排列问题看成27人的排列的问题，共有排法2727P种，再考虑到12名同学的排列方法，依照例1，可知第一组的第7页共8页12名同学要求5名女生排在一起的排法共有8585PP种。因此总的排法种数有27852785PPP种。命题4：一般地，n个不同元素的排列中，某k个元素必须排在一起的且在这k个元素