理论力学-第二章力系的简化

12第二章力系的简化§2–1汇交力系的合成§2–2力偶系合成§2–3平行力系的简化§2–4重心§2–5空间一般力系的简化3§2–1汇交力系的合成汇交力系：各力作用线汇交于一点的力系汇交力系平面汇交力系空间汇交力系作用在刚体上的力为滑移矢量汇交力系共点力系沿作用线移动4§2–1汇交力系的合成一、合成的几何法AF2F1F4F3F2F1FF3F4BCDEAF2AF1F4F35§2–1汇交力系的合成由力的三角形法则，得1234FFFFF分力矢1234FFFF、、、和合力矢F构成了封闭四边形称为力多边形，由力多边形求合力的方法称为力多边形法则。F2F1FF3F4BCDAF2F1FF3F4BCDA力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，其方向为第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。6可推广到一般，求个力组成的汇交力系的合力。n§2–1汇交力系的合成空间汇交力系是否可以用力的多边形法则求合力？结论：汇交力系合成的结果是一个合力作用线：作用线通过汇交点大小方向：由力多边形封闭边确定1niiFF用矢量式表示：图7§2–1汇交力系的合成二、合成的解析法kFjFiFFiziyixi1niiFFniiziyixkFjFiF1（汇交力系合力矢为各分力矢的矢量和）niizniniiyixkFjFiF111设合力解析表示为：kFjFiFFzyx8§2–1汇交力系的合成得：1nyiyiFF1nxixiFF1nziziFF合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力的大小：合力的方向：222ixiyizFFFFcosixFFcosiyFFcosizFF合力的作用线过汇交点9§2–1汇交力系的合成三、汇交力系的合力矩定理汇交力系12,,,nFFF合力为F合力对点O的力矩矢为：OMFrF由于iFF得：OiMFrF12nrFrFrF其中：iOirFMF所以得：1nOOiiMFMF10§2–1汇交力系的合成汇交力系的合力矩定理：汇交力系的合力对任一点的力矩矢等于各分力对同一点之力矩矢的矢量和；合力对任一轴之矩等于各个分力对同一轴之矩的代数和。1nOOiiMFMF1nzziiMFMF平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各个分力对同一点矩的代数和。平面汇交力系的合力矩定理：1nOOiiMFMF11§2–1汇交力系的合成例1：力F作用于支架上的点C如图所示，设F100N,试求力F分别对点A,B之矩。解：mNFFFMFMFMyAxAA-2360cos360sin2)()()(oomNFFMFMFMyBxBB--15060cos30)()()(o12§2–2力偶系的合成力偶系的合成1、空间力偶系的合成空间力偶系：12,,,nMMM空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。图13§2–2力偶理论222ixiyizMMMMcosixMMcosiyMMcosizMM合力偶大小：合力偶方向：2、平面力偶系的合成iMMiMM14§2–3空间一般力系的简化一、力的平移定理力的平移定理：作用于刚体上的力均可从原来的作用点平移至同一刚体内任意一点，为不改变原力对刚体的作用效应，必须附加一力偶，该附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的矩。15工程实例§2–3空间一般力系的简化书P28解释图16二、空间一般力系向一点简化§2–3空间一般力系的简化空间一般力系：各力的作用线不在同一平面内，且既不汇交一点又不相互平行的力系。O123,,nFFFF刚体内任选一点O，力系向O点简化O点称为简化中心图17§2–3空间一般力系的简化图18§2–3空间一般力系的简化1）根据力的平移定理，将各力平行移到O点，1、简化的一般结果2）空间一般力系12(',',')nFFF12(,,)nMMM空间汇交力系空间力偶系其中：()iOiMMF3）空间汇交力系简化结果：合力过汇交点iiFFF空间力偶系简化结果：合力偶()iOiMMMF19§2–3空间一般力系的简化主矢量：力系中各力的矢量和。iFF主矩：力系中各力对简化中心矩的矢量和。()OOiMMF主矢和简化中心的选择无关，主矩和简化中心的选择有关。思考：主矢和合力是否相同？结论：空间一般力系向任一点简化，一般可得到一个力和一个力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对简化中心的主矩。20§2–3空间一般力系的简化空间一般力系简化实例图21§2–3空间一般力系的简化2、主矢和主矩的计算222222()()()xyzixiyizFFFFFFF1）主矢的计算cos,cos,cosiyixizFFFFFF2）主矩的计算[()]()[()]()[()]()OxOixxiOyOiyyiOzOizziMMFMFMMFMFMMFMF222OOxOyOzMMMMcos',cos',cos'OyOxOzOOOMMMMMM22§2–3空间一般力系的简化三、空间一般力系简化的最后结果1、若,则该力系平衡（下章专门讨论）。0,0OFMOM2、若,则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩。此时简化结果与简化中心的位置无关。（简化中心的位置变，但力都为0，主矢与简化中心无关，但主矩大小变）0,0OFM23§2–3空间一般力系的简化3、若，则力系可合成为一个合力，合力通过简化中心O点，合力大小和方向由力系的主矢确定。此时与简化中心有关（换个简化中心，主矩不为零。）0,0OFM24§2–3空间一般力系的简化4、若0,0OFMOFM1）力系可合成为一个合力，合力大小方向由主矢确定，作用线不过简化中心O,偏离的距离OdMF图25§2–3空间一般力系的简化空间一般力系的合力矩定理：OM空间力系向O点简化后得主矢和主矩,若，即垂直，可进一步合成为一个作用在新简化中心O'点的合力（书P30图）F0OMFFOOMFOOFM）(又由于()OOiMMFiOOFMFM)（iZZFMFM上投影，有的任一轴向通过点将zOFMO26§2–3空间一般力系的简化合力矩定理的一般形式(1).力系如有合力，则合力对任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的矢量和。(2).力系如有合力，则合力对任一轴的矩等于力系中各力对同一轴的矩的代数和。iOOFMFM)（iZZFMFM27§2–3空间一般力系的简化//OFM2）力螺旋：由一力和在该力垂直的平面内的一力偶组成的力系。力、力偶和力螺旋是力学的基本量。右旋力螺旋：（力与力偶矩矢同向）图a。左旋力螺旋：（力与力偶矩矢反向）图bFMO（a）MO（b）F—力系合成为一力螺旋28§2–3空间一般力系的简化OFM主矢和主矩成任意角度3）图29•分解为§2–3空间一般力系的简化OFM1）力系可合成为一个合力，情况如4,1）//OFM2）力螺旋，情况如4，2）30§2–3空间一般力系的简化力系合成为一力螺旋。力螺旋中力的大小方向由主矢确定，力偶矩矢大小为。垂直时中心轴不过简化中心，平移的距离为//cosOOMM(sin)OOdMFMF中图为垂直情况，右图为平行情况。中心轴：与力作用线相重合的直线31§2–3空间一般力系的简化力螺旋工程实例图32§2–3空间一般力系的简化力螺旋工程实例图33§2–3空间一般力系的简化34§2–3空间一般力系的简化四、平面力系简化的最后结果则力系平衡。0,0OFM1、若则力系可合成为一合力偶。力偶的力偶矩由主矩确定。0,0OFM2、若则力系可合成为一合力。合力过简化中心，合力大小方向由主矢确定。0,0OFM3、若简化结果和简化中心无关。简化结果和简化中心有关。35§2–3空间一般力系的简化，力系可合成为一合力。合力不过简化中心，平移的距离为d=Mo/F,合力的大小和方向由主矢确定。0,0OFM4、若==MOOFOAOMFFOAOMFFFF合力作用线方程由平面内力对点之矩的解析表达式：()OyxOMFFxFyM-其中：O’是合力作用线上任意一点36§2–3空间一般力系的简化五、力系简化的应用1、固定端约束物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束。按照作用在物体上的主动力的不同可分为：平面固定端约束和空间固定端约束。37§2–3空间一般力系的简化1）平面固定端约束图38§2–3空间一般力系的简化当主动力为一平面力系时，物体在固嵌部分所受的力系也应是一个平面力系。同理根据平面力系的简化结果向某一点简化，得到一个力和一个力偶，大小方向都未知的力用一对正交力表示，力偶由平面力偶表示。FAxFAy39§2–3空间一般力系的简化2）空间固定端约束当主动力为一空间力系时，物体在固嵌部分所受的力系也应是一个空间力系。但可根据空间力系的简化结果向某一点简化，得到一个力和一个力偶，由于力和力偶矩矢的大小和方向都未知，可投影到三个坐标轴上，用分量来表示。40§2–3空间一般力系的简化图41§2–3空间一般力系的简化图42§2–3空间一般力系的简化图43§2–3空间一般力系的简化2、分布平行力系的简化dFq(x)dx取O点为简化中心，将力系向O点简化。主矢量：0lFqxdx主矩：0lOMxqxdxOdMxqxdxFMO，力系可进一步简化为一合力，其作用线距O点的距离为：00OlldMFxqxdxqxdx44§2–3空间一般力系的简化1）均布载荷Fql2dl2）三角形载荷012Fql23dl45§2–3空间一般力系的简化例2在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°46§2–3空间一般力系的简化F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°解：1.求主矢F建立如图坐标系OxyxixFF234cos60cos30FFF-0.598kNyiyFF124sin60sin30FFF-0.768kN220.794kNxyFFF主矢的大小47§2–3空间一般力系的简化2.求主矩MOOOMMF2342cos6023sin300.5kNmFFF-最后合成结果0.51mOMdF由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如右图所示。cos0.614xFFiF,52.1Fi,cos,0.789yFFjF37.9Fj,主矢的方向：合力FR到O点的距离RFFOABCxyF260°F3F430°F1FRMOF48§2–3空间一般力系的简化例3已知立方体边长为a，F1=F2=F3=P，F4=F5=,求该力系的简化结果。2P49§2–3空间一般力系的简化解：1.求主矢：1452222xFFFFP-5422022yFFF-230zFFF-2.求主矩：34202xMFaFa-2143202yMFaFaFaFa--422zMFaPa--50空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C就是此空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。一、空间平行力系的中心、物体的重心§2–4平行力系的中心物体的重心511、平行力系的