【2016成才之路】(人教A版)数学必修1课件第二章基本初等函数(I)3幂函数

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1基本初等函数(Ⅰ)第二章第二章基本初等函数(Ⅰ)成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修12.3幂函数第二章第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1高效课堂2课时作业4优效预习1当堂检测3第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1优效预习第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1●知识衔接1．在同一坐标系中画出函数y＝3x与y＝4x的图象，结合图象比较大小：(1)30.2____30.4；(2)30.4____40.4.2．注意到30.4与40.4的指数均是0.4，我们还可以用函数_______的性质来比较大小．3．求下列函数的定义域：(1)y＝1x，定义域为_________________；(2)y＝x，定义域为_________________．y＝x0.4(－∞，0)∪(0，＋∞)(0，＋∞)第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修11．一般地形如_________________的函数叫做幂函数．[名师点拨]幂函数与指数函数的区别与联系●自主预习函数表达式相同点不同点指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数y＝xα(α∈R)底数是自变量，指数是常数(2)对于幂函数，我们只讨论α＝1,2,3，12，－1时的情形．y＝xα(α为常数)第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1(3)图象：在同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1的图象如图．[归纳总结]幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1(4)五种常见幂函数的性质，列表如下：定义域值域奇偶性单调性公共点y＝x___R___在R上是______y＝x2R_______偶在(－∞，0)上是_______；在[0，＋∞)上是增函数y＝x3RR_______在R上是______y＝x12[0，＋∞)_______非奇非偶在[0，＋∞)上是_______y＝x－1_____________________(－∞，0)∪(0，＋∞)_______在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是______________R奇增函数[0，＋∞)减函数奇增函数[0，＋∞)增函数(－∞，0)∪(0，＋∞)奇减函数(1,1)第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1●预习自测1．下列函数为幂函数的是()A．y＝2x4B．y＝2x3－1C．y＝2xD．y＝x2[答案]D[解析]y＝2x4中，x4的系数为2，故A不是幂函数；y＝2x3－1不是xa的形式，故B不是幂函数；y＝2x＝2x－1，x－1的系数为2，故C不是幂函数，故只有D是幂函数．第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修12．下列结论中，正确的是()A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y＝xα是增函数D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数[答案]C第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修13．函数y＝x43的图象是()[答案]A第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1[解析]y＝x43＝3x4是定义域为R的偶函数，其图象关于y轴对称，故排除D又因为当x≥0时，此函数为增函数，当x＜0时，此函数为减函数，且当x＝2时，y＝243＞2，所以当x＞1时，函数y＝x43的图象在y＝x的图象的上方，故选A.第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修14．设a∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为偶函数的α值为________．[答案]1或3[解析]当α＝－2或12时，y＝xα的定义域不为R；α＝1为奇函数，故α＝2符合题意．第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1高效课堂第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1幂函数的定义●互动探究在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3探究1.幂函数满足的条件是什么？[解析]显然，根据幂函数定义可知，只有y＝1x2＝x－2是幂函数．[答案]B第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1[规律总结]在幂函数的定义中，没有规定定义域，但这并不意味着定义域不用研究．事实上，幂函数y＝xα中，α的取值不一样，幂函数的定义域也不一样．(1)当α是一个正分数时，设y＝xpq(p，q∈N＋，p，q互质)其定义域是使qxp有意义的x的集合；(2)当α是一个负整数或负分数时，设y＝x－p，p是正整数或y＝x－pq(p，q∈N＋，p，q互质)，则函数定义域是使1xp或1qxp有意义的实数x的集合．第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1有下列函数：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－1x；④y＝1x；⑤y＝x23；⑥y＝2x.其中，是幂函数的有________(只填序号)．[答案]④⑤第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1[解析]①中，x2的系数为3，故不是幂函数；②中，y＝x2＋1不是xα的形式，故不是幂函数；③中，y＝－1x＝－(x－1)，系数是－1，故不是幂函数；④中，y＝1x＝x－1是幂函数；⑤中，y＝x23是幂函数；⑥中，y＝2x是指数函数．第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．探究1.正比例函数、反比例函数、二次函数满足的条件是什么？探究2.幂函数的系数是多少？探究3.幂函数有没有常数项？[分析]把此函数解析式同各种函数解析式对比，即可得出关于m的关系式，从而求得m.第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1[解析](1)若f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1m2＋2m≠0，∴m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1m2＋2m≠0，∴m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2m2＋2m≠0，∴m＝－1±132.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2.第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1[规律总结]本题将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：(1)正比例函数y＝kx(k≠0)；(2)反比例函数y＝kx(k≠0)；(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)幂函数y＝xα(α是常数)，转化为系数和指数的取值问题．第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．[分析]由题意，得①f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－1是幂函数；②当x0时，f(x)是增函数；解答本题可严格根据幂函数的形式定义列方程求出m，再由单调性确定m的值．第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1[解析]根据幂函数定义，得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)内是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)内是减函数，不符合题意．综上所述，f(x)＝x3.[规律总结]幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准，对本例来说，还要根据单调性验根，以免出现增根．第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1探究1.当函数解析式中含有分数指数时，怎样求对应函数的定义域？探究2.当函数解析式的幂指数为负数时，怎样求对应函数的定义域？幂函数的简单性质求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性：(1)y＝x25；(2)y＝x－34；(3)y＝x－2.第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1[解析](1)函数y＝x25，即y＝5x2，其定义域为R，是偶函数，它在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减．(2)函数y＝x－34，即y＝14x3，其定义域为(0，＋∞)，它既不是奇函数，也不是偶函数，它在(0，＋∞)上单调递减．(3)函数y＝x－2，即y＝1x2，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是偶函数，它在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减．第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1[规律总结](1)在判断幂函数的单调性和奇偶性时，可根据相应幂函数的图象进行分析．(2)幂函数y＝xα在第一象限内图象的画法如下：①当α＜0时，其图象可类似y＝x－1画出；②当0＜α＜1时，其图象可类似y＝x12画出；③当α＞1时，其图象可类似y＝xx画出．第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．[解析]由已知，得m2－2m－3≤0，所以－1≤m≤3.又因为m∈Z，所以m＝－1,0,1,2,3.当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不合题意；当m＝－1或m＝3时，y＝x0，不合题意；当m＝1时，y＝x－4，其图象如答图所示．第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1探究1.当给定的两个幂的幂指数相同时，如何比较它们的大小？探究2.如果两个幂的底数和指数都不同，那么如何比较它们的大小？幂函数单调性的应用比较下列各组数的大小．(1)1.513，1.713，1；(2)(－22)－23，(－107)23，1.1－43；(3)3.8－23，3.925，(－1.8)35；(4)31.4,51.5.第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1[解析](1)因为函数y＝x13在(0，＋∞)上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.713＞1.513＞1.(2)(－22)－23＝(22)－23，(－107)23＝(710)－23，1.1－43＝[(1.1)2]－23＝1.21－23.因为幂函数y＝x－23在(0，＋∞)上单调递减，且710＜22＜1.21，所以(710)－23＞(22)－23＞1.21－23，即(－107)23＞(－22)－23＞1.1－43.第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1(3)因为0＜3.8－23＜1,3.9251，(－1.8)35＜0，所以3.925＞3.8－23＞(－1.8)35.(4)根据幂函数和指数函数的单调性，得31.4＜31.5＜51.5，所以31.4＜51.5.第二章2.3成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修1[规律总结]1.注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．第一步，据指数分清正负；第二步，正数区分大于1与小于1的，a1，α0时，aα1；0a1，α0时0aα1；a1，α0时0aα1；0a1，α0时，aα1；第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．第二章2.3成