2014-2015学年高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程课件 新人教版选修2-1

如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆一.课题引入：行星运行的轨道我们的太阳系2.1.1椭圆及其标准方程问题1：圆的几何特征是什么？平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆。问题2：如果我们将圆定义中的一个定点改变成两个定点，动点到定点距离的定长改变成动点到两定点的距离之和为定长。那么，将会形成什么样的轨迹曲线呢？数学实验•(1)取一条细绳，•(2)把它的两端固定在板上的两点F1、F2•(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形F1F2（1）在画出一个椭圆的过程中，F1、F2的位置是固定的还是运动的？（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？F1F2M︳F1F2︱=2c︱MF1︳+︱MF2︳=2a2a2c若2a2c，则轨迹为＿＿＿＿。若2a=2c，则轨迹为＿＿＿＿。线段不存在•平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．•这两个定点叫做椭圆的焦点，•两焦点的距离叫做焦距．椭圆的定义F1F2M椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__________________________的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_____，_______________叫做椭圆的焦距．想一想：在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？自学导引1．距离之和等于常数(大于|F1F2|)焦点两焦点间的距离小结（1）：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？•平面上----这是大前提•动点M到两个定点F1、F2的距离之和是常数2a•常数2a要大于焦距2CaMFMF221(2a2c)探究:感悟:(1)若|MF1|+|MF2||F1F2|,M点轨迹为椭圆.(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是什么?(2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为6,则M点的轨迹是什么?(3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为5,则M点的轨迹是什么?椭圆线段AB不存在(3)若|MF1|+|MF2||F1F2|,M点轨迹不存在.(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段.化简列式设点建系♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”OxyOxyOxyMF1F2方案一Oxy方案二F1F2MOxy化简列式设点建系F1F2xy以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．P(x,y)设P(x，y)是椭圆上任意一点设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)-,0c,0cF1F2xyP(x,y)-,0c,0c椭圆上的点满足|PF1|+|PF2|为定值，设为2a，则2a2c则：2222+++-+=2xcyxcya2222++=2--+xcyaxcy2222222++=4-4-+-+xcyaaxcyxcy222-c=-+axaxcy22222222-+=-acxayaac设222-=0acbb得即：2222+=10xyababOb2x2+a2y2=a2b2它表示：①椭圆的焦点在x轴②焦点坐标为F1（-C，0）、F2（C，0）③c2=a2-b2椭圆的标准方程⑴)0(12222babyaxF1F2M0xy椭圆的标准方程⑵)0(12222babxay它表示:①椭圆的焦点在y轴②焦点是F1（0，-c）、F2（0，c）③c2=a2-b2xMF1F2yOaxcyxcy2)()(2222观察下图，你能从中找出表示c,a,的线段吗？(课本33页思考)22caPF1F2Oxy因为c2=a2－b2所以22cabcab思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢椭圆的标准方程012222babyax12yoFFMxyxoF2F1M012222babxay定义图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a小结：椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程___________________________________焦点坐标_____________________________a、b、c的关系c2＝______(a＞b＞0)(a＞b＞0)(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a2－b22．自学引导椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c始终满足c2=a2-b2（不要与勾股定理a2+b2=c2混淆）；（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值；（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上.)0(12222babyax)0(12222babxay椭圆标准方程的特点(1)a、b、c三个基本量满足a2＝b2＋c2且ab0，其中2a表示椭圆上的点到两焦点的距离之和，可借助如图所示的几何特征理解并记忆．(2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.2．名师点睛1162522yx例、填空：已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________543(3,0)、(-3,0)620F1F2CDXYO变式：若椭圆的方程为14491622yx116922yx15422yx1、已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：___________焦距等于__________;曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________，则△F1PF2的周长为___________21(0,-1)、(0,1)25253252F1F2OxyP跟踪练习：课本42页练习2课本42页练习1则a＝，b＝；22221.153xy，则a＝，b＝；22222.146xy，223.194xy，224.137xy，53463237则a＝，b＝；则a＝，b＝；1522nymx、)0(nm1162522yx116914422yx1122ayax判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。写出下列椭圆的焦点坐标答：在y轴上(0，5)，(0，-5)答：在x轴上(-3，0)，(3，0)答：在x轴上(-1，0)，(1，0))0(a例：求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑵a=3，c=2。⑴两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且椭圆经过点。35,22小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a,b的值.求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑵焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5。⑶a+b=10，c=⑴a=,b=1,焦点在x轴上。6练习：或小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a,b的值。《全品》——P14，知识点二提高练习：1、已知方程表示焦点在y轴的椭圆，则m的取值范围是。22xy+=1m-13-m(1，2)《全品》——P14，当堂检测例．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）（4，0），椭圆上一点M到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。讲评例题12yoFFMx.解：∵椭圆的焦点在x轴上∴设它的标准方程为:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为)0(12222babyax192522yx两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点解：∵椭圆的焦点在y轴上，由椭圆的定义知，例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程：35,22∴设它的标准方程为22221(0)yxabab222235352222222a21010a又∵c=22221046bac∴所求的椭圆的标准方程为221106yx解题感悟：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a,b的值.例2、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’。求线段PP’中点M的轨迹。解设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为00yx,则200yyxx,44),(20202200yxyxyxP上在圆14442,222200yxyxyyxx即得代入上述方程将0xyPP’例题讲解M例2.如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD中点M的轨迹是什么?为什么?方法归纳:寻找要求的点M的坐标x,y与中间变量x0,y0之间的关系,然后消去x0,y0,得到点M的轨迹的方程.-------叫代入法求轨迹(解析几何中求点的轨迹的常用方法)PMDxy0例3.如图,设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交与点M,且它们的斜率之积是94,求点M的轨迹xABy0M课本42页习题4活页规范训练4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．解析由已知2a＝8，2c＝2，∴a＝4，c＝，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆标准方程为＋x2＝1.答案＋x2＝11515162y162y5．已知椭圆的焦距为6，则k的值为________．解析由已知2c＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29.答案11或2912022kyx7．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是()．A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线解析如图，依题意：|PF1|＋|PF2|＝2a(a0是常数)．又∵|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A.答案A10．椭圆的两个焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．解析依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，设P点的坐标为(x1，y1)，由线段PF1的中点的横坐标为0，知＝0，∴x1＝3.把x1＝3代入椭圆方程，得y1＝±，即P点的坐标为(3，±)，∴|PF2|＝|y1|＝.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝4，∴|PF1|＝4－|PF2|＝即|PF1|＝7|PF2|.答案7131222yx231x131222yx232323332372334