2016版《步步高》高考数学大二轮总复习：专题六解析几何 第2讲

第2讲椭圆、双曲线、抛物线1．(2015·福建改编)若双曲线E：x29－y216＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且PF1＝3，则PF2等于________．2．(2014·课标全国Ⅰ改编)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→＝4FQ→，则QF等于________．3．(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．4．(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0b1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若AF1＝3F1B，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．1.以填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率.2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等.热点一圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：PF1＋PF2＝2a(2aF1F2)；(2)双曲线：|PF1－PF2|＝2a(2aF1F2)；(3)抛物线：PF＝PM，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．例1(1)若椭圆C：x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF2＝4，则∠F1PF2＝________.(2)(2015·丰台模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为________．思维升华(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1(1)(2014·大纲全国改编)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为________________．(2)(2015·天津改编)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为________．热点二圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝ca＝1－ba2；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ca＝1＋ba2.2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．例2(1)椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．(2)(2015·盐城模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且BC＝CF2，则双曲线的渐近线方程为________________．思维升华(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．跟踪演练2(1)设F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点，若在直线x＝a2c上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是________．(2)(2015·重庆改编)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是___________．热点三直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3(2015·江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F到直线l：x＝－a2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．思维升华解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3(1)(2015·四川改编)过双曲线x2－y23＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则AB等于________．(2)(2015·南开中学月考)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________________．1．已知双曲线y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线上有两点A，B，若直线l的方程为x＋2y－2＝0，且AB⊥l，则椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率为________．2．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为12，且点(1，32)在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为627，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．提醒：完成作业专题六第2讲二轮专题强化练第2讲椭圆、双曲线、抛物线A组专题通关1．已知椭圆x29＋y2m＝1(0m9)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若AF2＋BF2的最大值为10，则m的值为________．2．(2015·广东改编)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为________．3．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________．4．已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．5．(2014·课标全国Ⅱ改编)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．6．已知P为椭圆x225＋y216＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则PM＋PN的最小值为________．7．已知点P(0,2)，抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，线段PF与抛物线C的交点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若∠PQF＝90°，则p＝________.8．(2015·山东)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．9．(2015·扬州模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若AM→＝2MB→，求直线l的方程．10．(2015·浙江)如图，已知抛物线C1：y＝14x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t,0)(t＞0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．B组能力提高11．(2014·辽宁改编)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为____________________________．12．已知圆x2＋y2＝a216上点E处的一条切线l过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F，且与双曲线的右支交于点P，若OE→＝12(OF→＋OP→)，则双曲线的离心率是__________．13．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点且与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为32，则双曲线的离心率为____________.14．已知椭圆C的长轴左、右顶点分别为A，B，离心率e＝22，右焦点为F，且AF→·BF→＝－1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P是椭圆C上的一动点，点P关于坐标原点的对称点为Q，点P在x轴上的射影点为M，连结QM并延长交椭圆于点N，求证：∠QPN＝90°.学生用书答案精析第2讲椭圆、双曲线、抛物线高考真题体验1．9解析由双曲线定义|PF2－PF1|＝2a，∵PF1＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴PF2－PF1＝6，∴PF2＝9.2．3解析∵FP→＝4FQ→，∴|FP→|＝4|FQ→|，∴PQPF＝34.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则AF＝4，∴PQPF＝QQ′AF＝34，∴QQ′＝3，根据抛物线定义可知QQ′＝QF＝3.3.22解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝|1－0|12＋12＝22.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤22，故c的最大值为22.4．x2＋32y2＝1解析设点B的坐标为(x0，y0)．∵x2＋y2b2＝1，∴F1(－1－b2，0)，F2(1－b2，0)．∵AF2⊥x轴，∴A(1－b2，b2)．∵AF1＝3F1B，∴AF1→＝3F1B→，∴(－21－b2，－b2)＝3(x0＋1－b2，y0)．∴x0＝－531－b2，y0＝－b23.∴点B的坐标为－531－b2，－b23.将B－531－b2，－b23代入x2＋y2b2＝1，得b2＝23.∴椭圆E的方程为x2＋32y2＝1.热点分类突破例1(1)120°(2)x2－y23＝1解析(1)由题意得a＝3，c＝7，所以PF1＝2.在△F2PF1中，由余弦定理可得cos∠F2PF1＝42＋22－2722×4×2＝－12.又因为cos∠F2PF1∈(0°，180°)，所以∠F2PF1＝120°.(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±bax，故可知ba＝3，又∵焦点坐标为(2,0)，∴c＝a2＋b2＝2，解得a＝1，b＝3.∴双曲线方程为x2－y23＝1.跟踪演练1(1)x23＋y22＝1(2)x24－y23＝1解析(1)由e＝33得ca＝33.①又△AF1B的周长为43，由椭圆定义，得4a＝43，得a＝3，代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为x23＋y22＝1.(2)双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，又渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3，即2b＝3a，①抛物线y2＝47x的准线方程为x＝－7，由已知，得a2＋b2＝7，即a2＋b2