抽样方法、用样本估计总体及正态分布

第52讲抽样方法、用样本估计总体及正态分布【学习目标】1．了解简单随机抽样，系统抽样和分层抽样的方法，会画频率分布直方图和茎叶图．2．了解用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性．3．了解正态分布曲线的特点及曲线表示的意义．【基础检测】1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是()A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法B【解析】此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样．依据题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法．故选B.2．关于正态密度曲线性质的叙述：①曲线关于直线x＝μ对称，整条曲线在x轴上方；②曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；③曲线在x＝μ处处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；④曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大曲线越“矮胖”，反之曲线越“高瘦”．上述对正态曲线的叙述正确的是()A．①②③B．①③④C．②③④D．①②③④B3．为了了解学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如下图所示，根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5千克的人数为()A．300B．360C．420D．450B【解析】由频率分布直方图可知，体重大于0.75千克的频率为(0.04＋0.03＋0.02)×2＝0.18故人数为2000×0.18＝360.4．某校开展“爱我中华、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是.1【解析】89＋89＋92＋93＋92＋91＋90＋x7＝91⇒x＝1.5．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝.25【解析】甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差s2＝6－72＋02＋02＋8－72＋025＝25.【知识要点】1．简单随机抽样设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的相等，就称这样的抽样为简单随机抽样．实现简单随机抽样，常用法和法．概率抽签随机数表(1)抽签法①制签②抽签：抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法．(2)随机数表法①编号②数数③成样(3)简单随机抽样的特点：它是抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种抽样．一般地，从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，每次抽取一个个体时，任何一个个体被抽到的概率为1N；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为.不放回等概率nN2．系统抽样当总体中的个数较多时，可将总体分成的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样(也称为机械抽样)．系统抽样的步骤可概括为：(1)将总体中的个体编号．(2)将整个的编号进行分段．(3)确定起始的个体编号．在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号l.(4)抽取样本．按照先确定的规则(常将l加上间隔k)抽取样本：l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k.均衡3．分层抽样当已知总体由的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层．(1)分层抽样是等概率抽样．用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于nN；差异明显(2)分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，在实际的应用中更为广泛．4．用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数在一组数据中出现次数的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列，处在上的一个数据(或中间两位数据的平均数)叫做这组数据的中位数．最多中间位置(2)平均数与方差如果这n个数据是x1，x2，…，xn，那么，叫做这n个数据的平均数；如果这n个数据是x1，x2，…，xn，那么，叫做这n个数据的方差；同时，叫做这n个数据的标准差．11niixxn2211()niisxxn211()niisxxn5．频率分布直方图与茎叶图样本中所有数据(或数据组)的频数和样本容量的比，就是该数据的．所有数据(或数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布直方图、茎叶图来表示．(1)频率分布直方图：具体做法如下：①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；②决定组距与组数(当样本容量不超过100时，常分成5～12组)；频率③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．注：频率分布直方图中小长方形的面积＝组距×＝频率．各组频率的和等于1，因此各小矩形的面积的和等于1.(2)茎叶图：与频率分布直方图比较，茎叶图不仅清晰地展示了数据的分布情况，而且保留了所有原始数据，没有任何信息损失，还可以随时记录新的数据．频率组距(3)从样本频率分布直方图估计总体数字特征时，众数：纵坐标最大的那一组的中点横坐标值；中位数：找到横坐标x0，使直线x＝x0左右两边面积各为12，x0即为中位数；平均数：每组中点值乘以相应该组频率的和．6．正态分布(1)函数φμ，σ(x)＝，x∈R的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线．对于任何实数a＜b，随机变量X满足P(a＜X≤b)≈，则称X的分布为正态分布，正态分布完全由参数确定．因此正态分布常记作，如果X服从正态分布，则记为.22()212xueμ和σN(μ，σ2)X～N(μ，σ2),()dbaxx(2)正态分布的特点：①曲线在；②曲线关于直线对称；③曲线在x＝μ时；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越．位于x轴上方与x轴不相交x＝μ达到峰值12πσ分散集中(3)σ原则①x∈(μ－σ，μ＋σ)，P(x)＝0.683；②x∈(μ－2σ，μ＋2σ)，P(x)＝0.954；③x∈(μ－3σ，μ＋3σ)，P(x)＝0.997.一、抽样方法及应用例1(1)某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取人；3720(2)某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h,1020h,1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为h.1013【解析】(1)由于第5组抽出的号码22＝2＋(5－1)×5，可知第一组抽出的号码应为2，从而第8组应抽取的号码为2＋(8－1)×5＝37；由分层抽样知识可知，40岁以下年龄段应抽取的人数为40×50%＝20人．(2)依题设及分层抽样知识可知3个分厂应抽电子产品数分别为14×100＝25个，24×100＝50个，14×100＝25个，从而抽取的100件产品的使用寿命的平均值为980×25＋1020×50＋1032×25100＝1013(h)．【点评】分层抽样、系统抽样的基础知识的考纲要求是“了解”和“会”，因此复习时重点在基础知识的了解与简单应用．二、正态分布及应用例2(1)若随机变量x～N(μ，σ2)，则P(x≤μ)＝；(2)设随机变量ξ～N(2,9)，若P(ξc＋1)＝P(ξc－1)，则c＝；(3)设随机变量ξ～N(1,4)，则P(5ξ7)＝.(附：P(μ－σξμ＋σ)＝0.638，P(μ－2σξμ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σξμ＋3σ)＝0.997)0.520.0215【解析】(1)由正态分布曲线的性质可知P(ξ≤μ)＝0.5.(2)由于正态分布曲线关于x＝2对称．又P(ξc＋1)＝P(ξc－1)，因此c＋1＋c－12＝2，∴c＝2.(3)P(5ξ7)＝P(μ＋2σξμ＋3σ)＝0.997－0.9542＝0.0215.【点评】正态分布问题求解切入点通常是应用数形结合思想和“σ原则”及正态分布曲线的性质．三、茎叶图及应用例3某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430.(1)完成数据的茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便，此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，还可以随时记录新的数据．(3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数比品种B高；②品种A的亩产标准差比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．【点评】茎叶图是新增知识点，既要会作茎叶图，同时也要会看茎叶图，但考纲要求为“了解和会”的层次，注重基础是关键．例4某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40件产品中重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．【解析】(1)重量超过505克的频率为1－(0.03＋0.04＋0.07)×5＝0.3.故重量超过505克的产品数量为0.3×40＝12(件)．(2)Y可取0,1,2，P(Y＝0)＝C228C240＝63130；P(Y＝1)＝C128C112C240＝2865；P(Y＝2)＝C212C240＝11130，∴Y的分布列为Y012P63130286511130(3)利用样本估计总体，该流水线上产品超过505克的概率为0.3，令ξ为任取5件产品重量超过505克的产品数量，则ξ～B(5,0.3)，故所求概率为P(ξ＝2)＝C25(0.3)2(0.7)3＝0.3087.【点评】高考中关于直方图及其应用的考查大有加强的趋势，因此既要会作相关统计数据的直方图，又要会观察直方图，提升识图能力，同时还要加强与概率问题的综合．〔备选题〕例