第2章222同步训练及解析高中数学练习试题

1人教A高中数学选修2-3同步训练1．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.49B.29C.23D.13解析：选A.设A表示：“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝23，B表示：“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝23.则P(AB)＝P(A)P(B)＝23×23＝49.2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为()A．1－a－bB．1－abC．(1－a)(1－b)D．1－(1－a)(1－b)解析：选C.设A表示：“第一道工序的产品为正品”，B表示：“第二道工序的产品为正品”，则P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－a)(1－b)．3．某射击运动员射击一次，命中目标的概率为0.9，问他连续射击两次都命中的概率是()A．0.64B．0.56C．0.81D．0.99解析：选C.Ai表示：“第i次击中目标”，i＝1,2，则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.4．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．解析：设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝1625，∴p＝35.答案：35一、选择题1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是()A．互斥的事件B．相互独立的事件C．对立的事件D．不相互独立的事件2解析：选D.∵P(A1)＝35.若A1发生了，P(A2)＝24＝12；若A1不发生，P(A2)＝34，∵A1发生的结果对A2发生的结果有影响，∴A1与A2不是相互独立事件．2．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于()A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A、B，则P(A)＝13，P(B)＝12，由于A、B相互独立，所以1－P(A)P(B)＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C正确．3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12B.512C.14D.16解析：选B.设事件A：“一个实习生加工一等品”，事件B：“另一个实习生加工一等品”，由于A、B相互独立，则恰有一个一等品的概率P＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)P(B)＝23×14＋13×34＝512.4．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是()A．0.26B．0.08C．0.18D．0.72解析：选A.P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.5．甲、乙、丙三台机器是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机器需要维修的概率分别是0.1、0.2、0.4，则一小时内恰有一台机器需要维修的概率是()A．0.444B．0.008C．0.7D．0.233解析：选A.P＝0.1×0.8×0.6＋0.9×0.2×0.6＋0.9×0.8×0.4＝0.444.6．设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是()A.29B.118C.13D.23解析：选D.由P(AB)＝P(BA)，得P(A)P(B)＝P(B)P(A)，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)．又P(AB)＝19，则P(A)＝P(B)＝13.∴P(A)＝23.二、填空题37．某射手射击一次，击中目标的概率是0.85，他连续射击三次，且各次射击是否击中相互之间没有影响，那么他前两次未击中、第三次击中目标的概率是________．解析：P＝(1－0.85)×(1－0.85)×0.85＝0.019125.答案：0.0191258．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.答案：0.099．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：都未解决的概率为1－121－13＝12×23＝13.问题得到解决就是至少有1人能解决问题，∴P＝1－13＝23.答案：1323三、解答题10．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为12，求灯亮的概率．解：因为A，B断开且C，D至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，所以灯不亮的概率为P(AB)[1－P(CD)]＝P(A)P(B)[1－P(CD)]＝12×12×1－12×12＝316.所以灯亮的概率为1－316＝1316.11．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A、B、C，则有P(A)＝45，P(B)＝35，P(C)＝710.(1)因为事件A、B、C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)4＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250.(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－45×35×710＝83125.12．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列．解：设事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P(A1)＝56，P(A2)＝45，P(A3)＝34，P(A4)＝13.(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝56×45×1－34＝16.(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P(C)＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3)＝16＋56×15＋56×45×1－34＝12.(3)X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝P(A1)＝16，P(X＝2)＝P(A1A2)＝56×1－45＝16，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝56×45×1－34＝16，P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝56×45×34＝12，所以，X的分布列为X1234P16161612