2021年教师资格证考试初中数学教资考试重点知识点归纳【考试重点】

一、数学重要公式1.罗尔定理如果函数𝑓(𝑥)满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a，b）内至少有一点ξ(aξb)，使得F′(ξ)=0。2.拉格朗日中值定理如果函数𝑓(𝑥)满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；那么在（a，b）内至少有一点ξ(aξb)，使得f(a)-f(b)=𝑓′(ξ)(a-b)3.泰勒公式①𝑒𝑥=1+𝑥+𝑥22!+⋯+𝑥𝑛𝑛!+𝑒𝜃𝑥(𝑛+1)!𝑥𝑛+1,0𝜃1,𝑥∈(−∞,+∞)②sin𝑥=𝑥−𝑥33!+𝑥55!−⋯+(−1)𝑚−1𝑥2𝑚−1(2𝑚−1)!+(−1)𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥(2𝑚+1)!𝑥2𝑚+1,0𝜃1③cosx=1−𝑥22!+𝑥44!−⋯+(−1)𝑚𝑥2𝑚(2𝑚)!+(−1)𝑚𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥(2𝑚+2)!𝑥2𝑚+2,0𝜃14.定积分性质性质2（积分的保序性）：如果在区间[a，b]上恒有f(x)≥g(x)，则∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥≥∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥。𝑏𝑎𝑏𝑎性质3（积分估值定理）：如果函数𝑓(𝑥)在区间[a，b]上有最大值M和最小值m，则𝑚(𝑏−𝑎)≤∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥≤𝑀(𝑏−𝑎)𝑏𝑎。性质4(积分中值定理)：如果函数𝑓(𝑥)在积分区间[a，b]上连续,则在[a，b]上至少有一点ξ，使得∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑓(𝜉)(𝑏−𝑎)，ξ∈(𝑎，𝑏).𝑏𝑎性质5(对称区间上奇偶函数的积分性质)：设𝑓(𝑥)在对称区间[-a，a]上连续，则有：如果𝑓(𝑥)为奇函数，则∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=0；𝑎−𝑎如果𝑓(𝑥)为偶函数，则∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=2𝑎−𝑎∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥.𝑎02021年教师资格证考试初中数学教资考试重点知识点归纳【考试重点】5.平面方程与直线方程平面方程的基本形式（1）点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0其中已知点（x0，y0，z0），法向量𝑛⃗=(𝐴，𝐵，𝐶)。（2）一般式：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A、B、C不全为零)。直线方程的基本形式（1）一般式（交面式）：{𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1𝑧+𝐷1＝0𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2𝑧+𝐷2＝0，其中（𝐴1，𝐵1，𝐶1）与（𝐴2，𝐵2，𝐶2）不平行。直线方向向量：𝑆=𝑛1⃗⃗⃗⃗×𝑛2⃗⃗⃗⃗=|𝑖𝑗𝑘𝐴1𝐵1𝐶1𝐴2𝐵2𝐶2|=(𝐵1𝐶2−𝐶1𝐵2)𝑖−(𝐴1𝐶2−𝐶1𝐴2)𝑗+(𝐴1𝐵2−𝐵1𝐴2)𝑘（2）参数式：{𝑥＝𝑥0+𝑡𝑙𝑦＝𝑦0+𝑡𝑚𝑧＝𝑧0+𝑡𝑛其中（𝑥0，𝑦0，𝑧0）为直线L上的定点，（l，m，n）为直线L的方向向量。（3）对称式（标准式）：𝑥−𝑥0𝑙＝𝑦−𝑦0𝑚＝𝑧−𝑧0𝑛。6.混合积设已知三个向量a，b，c，先作两向量a和b的向量积a×b把所得到的向量与第三个向量c再作数量积(a×b)·c，这样得到的数量叫做三向量a、b、c的混合积，记作[a，b，c]。[a，b，c]=(a×b)·c=𝑐𝑥|𝑎𝑦𝑎𝑧𝑏𝑦𝑏𝑧|-𝑐𝑦|𝑎𝑥𝑎𝑧𝑏𝑥𝑏𝑧|+𝑐𝑧|𝑎𝑥𝑎𝑦𝑏𝑥𝑏𝑦|=|𝑎𝑥𝑎𝑦𝑐𝑧𝑏𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧𝑐𝑥𝑐𝑦𝑐𝑧|几何意义：以向量a，b，c，为棱长的平行六面体的体积。用途：判断两直线是否共面或异面。7.曲面方程球面：球心在点（x0,y0,z0），半径R的球面方程可写成(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)＝R2。柱面：面平行于哪个轴，方程中就不含哪个轴的量。圆锥面：绕哪个轴旋转，哪个轴字母不变，另一个字母变成±根号下其他两个字母平方和。椭球面：标准方程：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2+𝑧2𝑐2＝1(a,b,c0)单叶双曲面：标准方程：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2−𝑧2𝑐2＝1(a,b,c0)双叶双曲面：标准方程：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2−𝑧2𝑐2＝−1(a,b,c0)椭圆抛物面：𝑥2𝑝+𝑦2𝑞＝2𝑧(p,q0)双曲抛物线：𝑥2𝑝−𝑦2𝑞=z(p，q0)8.曲面方程的切平面方程设曲面方程为F(x，y，z)=0，M0(x0，y0，z0)是曲面上的一点，并设函数F(x，y，z)的偏导数在该点连续且不同时为零。法向量𝑛⃗=(A，B，C)就是该曲面在点M0处的一个法向量，其中A=Fx′(x0，y0，z0)，B=Fy′(x0，y0，z0)，C=Fz′(x0，y0，z0)，则切平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。通过点M0(x0，y0，z0)且垂直于切平面的直线为曲面在该点的法线，则法线方程为𝑥−𝑥0𝐴=𝑦−𝑦0𝐵=𝑧−𝑧0𝐶。9.向量组的线性相关方法一：定义法判断给定向量组A：𝜶1，𝜶2，…，𝜶𝑚，如果存在不全为零的数𝑘1，𝑘2，…，𝑘𝑚，使𝑘1𝜶1+𝑘2𝜶2+⋯+𝑘𝑚𝜶𝑚=0，则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关；若当且仅当𝑘1=𝑘2=⋯=𝑘𝑚=0时上式成立，则称向量组A线性无关。方法二：定理法（求秩）定理2：向量组A:𝜶1，𝜶2，…，𝜶𝑚线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(𝜶1，𝜶2，…，𝜶𝑚)的秩小于向量的个数m，向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m。10.极大线性无关向量组设有向量组A，如果在A中能选出r个向量𝜶1，𝜶2，…，𝜶𝑟，满足：（1）向量组A0:𝜶1，𝜶2，…，𝜶𝑟线性无关；（2）向量组A中任意r+1个向量(如果有的话)都线性相关；则称向量组A0:𝜶1，𝜶2，…，𝜶𝑟是向量组A的一个最大线性无关向量组。方法：化成行阶梯型矩阵，找非零行的第一个非零元所在的列向量。11.线性方程组定理1：n元齐次线性方程组Ax＝0（1）R(A)＝n↔Ax＝0有唯一解，零解；（2）R(A)n↔Ax＝0有非零解。定理2：n元非齐次线性方程组Ax＝b（1）无解的充分必要条件是R(A)R(A,b)；（2）有唯一解的充分必要条件是R(A)＝R(A,b)＝n；（3）有无穷多解的充分必要条件是R(A)＝R(A,b)n。12.特征值与特征向量求特征值，特征向量的方法：（1）先由特征方程|M-λE|＝0求出矩阵M的特征值λi（共几个）。（2）再由求（M-λiE）x＝0基础解系，即矩阵M属于特征值λi的线性无关的特征向量。13.施密特正交化设α1，α2，…αr是向量空间V（V⊆Rn）的一个基，要求V的一个标准正交基。也就是要找一组两两正交的单位向量e1，e2，…er，使e1，e2，…er与α1，α2，…αr等价，这样的过程叫做把基α1，α2，…αr标准正交化，也叫做施密特（Schmidt）正交化。设V的一个基为a1，a2，…ar，令b1=a1，b2=a2−[𝑏1，𝑎2][𝑏1，𝑏1]𝑏1，…………br=ar−[𝑏1，𝑎𝑟][𝑏1，𝑏1]𝑏1−[𝑏2，𝑎𝑟][𝑏2，𝑏2]𝑏2−⋯−[𝑏𝑟−1，𝑎𝑟][𝑏𝑟−1，𝑏𝑟−1]𝑏𝑟−1再将b1，b2，…br，单位化，即取e1=𝒃𝟏‖𝒃𝟏‖，e2=𝒃𝟐‖𝒃𝟐‖，…er=𝒃𝒓‖𝒃𝒓‖就是V的一个标准正交基。二、教学技能模板教学设计——关于教学目标及教学重难点设计作答模板：知识与技能目标(学生)了解（如概念)，理解(如公式推导的过程、算理、含义)，掌握(如计算方法，公式），能够应用解决实际问题。过程与方法目标（学生）在自主探究，小组讨论交流_______（某知识点）的过程中，提高发现问题，提出问题分析问题和解决实际问题的能力,培养数学思维。情感、态度与价值观目标通过对_______（某知识点）的探索，学生的数学兴趣（学习数学的兴趣/积极性）得以提高（增加），能够进一步体会数学来源于生活并服务于生活（数学与生活的密切联系/数学的美/图形的美）。教学重点：(学生)了解（如概念)，能够应用解决实际问题。教学难点：理解(如公式推导的过程、算理、含义)，的推导或证明过程。教学设计——关于教学过程设计一、______导入教师活动：教师运用多媒体展示（播放）生活图片（视频、音频）。接着引导学生认真观察和思考，提出问题：__________________（注意：要求必须阐述老师出示的具体问题是什么）。学生活动：就教师的提问展开独立思考或讨论得出结论。教师活动：根据学生得出的回答，再次提出启发式问题，从而引入本节课新课——________。设计意图：精彩的开头，不仅能使学生很快由抵制状态进入兴奋状态，提高数学的学习兴趣，还能使学生把知识的学习当成自我需要，使教学任务顺利完成。(注意审题要仔细，是否要求写明设计意图)。二、新课讲授环节一：初步感知，以旧引新教师活动：教师提出_______等目标问题。教师组织学生根据目标问题四人小组讨论或同桌之间交流，教师进行巡视指导，交流讨论结束后，找学生代表回答讨论结果，教师评价，学生互评或学生自评。学生活动：根据问题探究出结论或预设：____________（一般都是直接默写相关知识点）。环节二：自主探究，得出结论教师活动：教师再次抛出问题________，给予一定的时间，组织学生思考抢答或自主探究再回答，教师针对学生的回答结果作相应评价或选择学生自评或互评。学生活动：通过自主探究，学生回答出____________。设计意图：通过设置问题，层层提问，利用提问法和引导法引导学生进行问题的思考并进一步的讨论，体现了教师的主导性作用；学生采用小组讨论和自主探究等多种学习方法，进行问题的探究，提高学生之间的合作交流意识、语言表达和信息共享意识，为提高解决问题的能力奠定基础，这也是体现学生主体性作用的一种重要学习方法。环节三：总结归纳，知识应用教师活动：教师梳理和总结本就新课的重难点：_________（直接抄知识与技能目标即可）。三、巩固练习。教师通过多媒体展示有关_______（本节课知识点）不同类型不同层次的练习题目，引导学生独自思考并作答，或者找同学代表到黑板上进行板演，完成后教师针对结果给予评价并总结。设计意图：通过设置不同层次的练习题，不仅能使学生的新知得到及时巩固，也使学生思维能力得到有效提高，能更好的将知识学以致用。四、归纳小结。教师引导学生可以从知识方面，能力方面或情感等方面畅谈本节课的收获，针对学生的回答，相机评价并总结。设计意图：在小结环节采用先让学生自评，接着让学生互评，最后教师表扬全班学生，不仅是为了检验学生对本节课重点内容的清楚认识，更能进一步增强学生的自信心和荣誉感，使他们更加热爱数学。五、作业布置。学生完成书后剩余练习题或者自主设计一道能用本节课知识解决的生活实际问题。设计意图：对本节课知识的再巩固，再认识。案例分析——考点1：教学目标的评析答题模板：【根据题目从以下7点中选择3~4点进行回答即可。】①反映数学的学科特点，反映当前学习内容的本质。题中的教学目标包含了_______（概括材料），符合/违背了这一要求。②格式要规范，用词要考究。题中的教学目标包含了_______（概括材料），符合/违背了这一要求。③注意教学目标的层次性。一般包含四基、四能和情感态度，题中的教学目标包含了__________（概括材料），符合/违背了这一要求。④实在具体，不浮华。要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目标“远大”、空洞，形同虚设。题中的教学目标包含了________（概括材料），符合/违背了这一要求。案例分析——考点2：教学过程的评析（宏观评析）从以下5方面着手作答：①导入：教学过程中导入方式的选择是否合理？优点和缺点各是什么