2020届高考数学大二轮复习 层级一 第二练 复数、平面向量教学案

-1-层级一第二练复数、平面向量[考情考向·高考导航]1．高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，难度较低，纯属送分题目．2．平面向量是高考必考内容，每年每卷有一个小题，难度中档，主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是考查的热点．[真题体验]1．(2019·全国Ⅱ卷)设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：C[z＝－3－2i，对应的点为(－3，－2)，在第三象限．]2．(2019·全国Ⅰ卷)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：B[∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0.即a·b＝|b|2；∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝|b|22|b|·|b|＝12.故〈a，b〉＝π3，故选B.]3．(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：C[本题考查平面向量及充分必要条件．由题意得|a－3b|＝a2－6a·b＋9b2，|3a＋b|＝9a2＋6a·b＋b2.充分性：∵|a－3b|＝|3a＋b|∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2又∵|a|＝1，|b|＝1，∴a2＝b2＝1∴a2＋9b2＝9a2＋b2-2-∴－6a·b＝6a·b即a·b＝0，∴a⊥b.充分性得证．必要性：∵a⊥b，∴a·b＝0又∵|a|＝|b|＝1，∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2∴(a－3b)2＝(3a＋b)2∴|a－3b|＝|3a＋b|必要性得证．故选C.]4．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.解析：2a＋b＝2(1,2)＋(2，－2)＝(4,2)，c∥(2a＋b)，∴1×2－4λ＝0，解得λ＝12.答案：12[主干整合]1．复数运算中常用的结论(1)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.(2)－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．2．“三点”共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是OP→＝λ1OA→＋λ2OB→(其中λ1＋λ2＝1)．3．三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．4．三角形重心坐标的求法：(1)G为△ABC的重心⇔GA→＋GB→＋GC→＝0⇔GxA＋xB＋xC3，yA＋yB＋yC3.(2)OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→⇔O为△ABC的垂心．5．平面向量数量积性质：a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)．热点一复数的概念与运算-3-[题组突破]1．(2019·全国Ⅰ卷)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1解析：C[|z－i|＝1表示复平面内的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，故点E的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝1.选C.]2．(2020·苏州模拟)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z·z＝4，则a＝()A．1或－1B.7或－7C．－3D.3解析：A[∵z·z＝4，∴|z|2＝4，即|z|＝2.∵z＝a＋3i，∴|z|＝a2＋3，∴a2＋3＝2，∴a＝±1.故选A.]3．(2020·湖北八校联考)已知复数z1＝2＋ai(a∈R)，z2＝1－2i，若z1z2为纯虚数，则|z1|＝()A.2B.3C．2D.5解析：D[由于z1z2＝2＋ai1－2i＝＋a＋5＝2－2a＋＋a5为纯虚数，则a＝1，则|z1|＝5，故选D.]4．设有下面四个命题p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；p4：若复数z∈R，则z∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4解析：B[设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若1z∈R，即1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题．-4-对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒z＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题，故选B.]解决复数问题的两种思想方法1．复数的“实数化”：复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．2．复数的“方程思想”：即把复数z当作未知数，从解方程的角度求解z.热点二平面向量的运算及应用平面向量的线性运算[例1](1)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→[解析]A[如图，EB→＝AB→－AE→＝AB→－12AD→＝AB→－1212AB→＋AC→＝AB→－14AB→－14AC→＝34AB→－14AC→.](2)(2020·无锡模拟)如图，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．-5-[解析]解法一如图，OC→＝OB1→＋OA1→，|OB1→|＝2，|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC→＝4OA→＋2OB→.所以λ＋μ＝6.解法二以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系(图略)，则A(1,0)，C(23cos30°，23sin30°)，B(cos120°，sin120°)．即A(1,0)，C(3，3)，B－12，32.由OC→＝λOA→＋μOB→得，λ－12μ＝3，32μ＝3，所以μ＝2，λ＝4.所以λ＋μ＝6.[答案]6平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．平面向量数量积的应用数学运算素养数学运算——平面向量问题中的核心素养解决几何图形问题时，可以先建立适当的坐标系，将图形坐标化，再运用数学运算解决相关问题．在平面向量中，向量的坐标运算就是这一思想的具体应用.[例2](1)(2020·石家庄模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6[解析]A[∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，∴-6-|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝3|b|，cos〈a＋b，a〉＝a＋ba|a＋b||a|＝a2＋a·b|a＋b||a|＝|a|22|b||a|＝|a|2|b|＝32，故a＋b与a的夹角为π6.](2)(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE→·BE→的最小值为()A.2116B.32C.2516D．3[解析]A[建立如图所示的平面直角坐标系，则A0，－12，B32，0，C0，32，D－32，0，E点在CD上，则DE→＝λDC→(0≤λ≤1)，设E(x，y)，则：x＋32，y＝λ32，32，即x＋32＝32λy＝32λ，据此可得：E32λ－32，32λ，且：AE→＝32λ－32，32λ＋12，BE→＝32λ－3，32λ，-7-由数量积的坐标运算法则可得：AE→·BE→＝32λ－3232λ－3＋32λ×32λ＋12，整理可得：AE→·BE→＝34(4λ2－2λ＋2)(0≤λ≤1)，结合二次函数的性质可知，当λ＝14时，AE→·BE→取得最小值2116.故选A.]涉及数量积、模和最值的解题思路(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路；①直接利用数量积的定义计算，此时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．②建立平面直角坐标系，通过坐标运算求解．(2)求解向量数量积的最值(范围)问题，通常建立平面直角坐标系，由数量积的坐标运算得到含有参数的等式，或是转化为函数的最值，或是利用基本不等式求最值，或是利用几何意义求最值(范围)．(1)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，若AB→＝a，AD→＝b，则向量BF→＝()A.13a＋23bB．－13a－23bC．－13a＋23bD.13a－23b解析：C[BF→＝BC→＋CF→＝BC→－13AC→＝AD→－13(AB→＋AD→)＝－13a＋23b.](2)(2019·江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若AB→·AC→＝6AO→·EC→，则ABAC的值是________．解析：本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合和方程思想解题．如图，过点D作DF∥CE，交AB于点F，由BE＝2EA，D为BC中点，知BF＝FE＝EA，AO＝OD.-8-6AO→·EC→＝3AD→·(AC→－AE→)＝32(AB→＋AC→)·(AC→－AE→)＝32(AB→＋AC→)·AC→－13AB→＝32AB→·AC→－13AB→2＋AC→2－13AB→·AC→＝3223AB→·AC→－13AB→2＋AC→2＝AB→·AC→－12AB→2＋32AC→2＝AB→·AC→，得12AB→2＝32AC→2，即|AB→|＝3|AC→|，故ABAC＝3.答案：3(3)(双空填空题)已知向量a，b，其中|a|＝3，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.解析：本题考查向量数量积的垂直性质．由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝3，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cosθ＝3－23·cosθ＝0，解得cosθ＝32.又因为0≤θ≤π，所以θ＝π6.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cosθ＝3＋23×32＝6.答案：π66限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2020·昆明模拟)已知复数z＝2－1＋i则()A．z的模为2B．z的实部为1C．z的虚部为－1D．z的共轭复数为1＋i解析：C[根据题意可知，2－1＋i＝－1－2＝－1－i，所以z的虚部为－1，实部为－1，模为2，z的共轭复数为－1＋i，故选C