《动态解析高考数学综合题》平面解析几何

第五章直线与圆直线与圆是几何中最基础和最重要的两种图形，是代数方法在几何研究中的应用的开始.对于这部分内容，学生应该深刻领会并熟练应用数形结合的思想方法，既要注重代数运算的简洁，也要充分利用几何图形的性质，还要认真考虑代数式的几何意义，在对参数的讨论过程中不要遗漏某些特殊值所表示的特殊情况.近年来，这一部分内容在高考试题中通常属于基础题，难度中等，但解答问题使用的方法会直接影响到运算量的多少以及问题解答的正确率.第一节直线与圆的位置关系1.直线的x-截距与y-截距之间的关系例1（09华南师大附中3月）已知直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等，且到点（1，2）的距离为2，求直线l的方程.【动感体验】要全面考虑可能成立的各种情况.已知直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等的条件应考虑截距可能为零或不为零两种情况.如图5.1.1所示，点P在以A（1，2）为圆心、半径为2的圆上，直线（记为l）经过点P且与圆A相切.则该l到点（1，2）的距离为恒为2.打开文件“09华南师大附中3月.zjz”，拖动点P，观察可能出现直线l在x轴、y轴上截距的绝对值相等的情况.图5.1.1【思路点拨】对于满足条件的直线其截距为零和不为零两种情况分别讨论.【动态解析】图5.1.2-5.1.7所示六种情况下，经过点P的直线在x轴、y轴上截距的绝对值均相等.图5.1.2图5.1.3图5.1.4图5.1.5图5.1.6图5.1.7可设满足条件的直线的方程为bkxy.当0b时，由点到直线的距离公式得：21|2|2kk，解得62k或62k.当0b时，则直线l的斜率k为1或者-1，由点到直线的距离公式得：21|2|2kbk，当1k时，解得1b或3b；当1k时，解得5b或1b.因此所求直线的方程为：xy)62(，或xy)62(，或1xy，或3xy，或5xy，或1xy.【简要评注】从本题的题设条件，很容易选择利用直线的截距式方程表示直线进行求解，但要注意避免遗漏直线经过原点的情况.在这里我们首先考虑到直线到点A的距离为2，再寻找满足要求的直线，就容易分类了.有时候利用直线的截距式在绘制直线时非常方便，但答案通常写成斜截式.2.直线与圆的位置关系例2（06湖南理10）若圆0104422yxyx上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是（）。A．]412[，B．]12512[，C．]36[，D．]20[，方法一：【动感体验】方程0104422yxyx可化为18)2()2(22yx，该圆的圆心为（2，2）、半径为23，圆心在直线xy上.0:byaxl是一条过原点的直线，系数ba,决定其倾斜角.令bak，则l的方程为：kxy.考虑k变化时与直线kxy平行并与之距离为22的两条直线与圆交点的个数.打开文件“06湖南理10.zjz”，实线表示直线kxy，虚线是两条到直线kxy的距离等于22，通过拖动点P或者动画按钮可以改变k的值，如图5.1.8-5.1.12所示为其中的几种情况.图5.1.8图5.1.9图5.1.10图5.1.11图5.1.12【思路点拨】改变k的值考虑当圆上恰好有三个点到直线l的距离为22时，两条平行线与圆的位置关系.这时两平行线应该其一与圆相切另一与圆相交，而圆心到直线l的距离恰好为2，由此不难确定直线l的倾斜角的取值范围.【动态解析】注意到22OC，当圆心到直线l的距离CD恰好为2时，如图5.1.8、图5.1.11所示，6COD.由此不难确定若圆0104422yxyx上至少有三个不同的点到直线l的距离为22时,直线l的倾斜角的取值范围是]12512[，.所以选择B.方法二：【动感体验】方程0104422yxyx可化为18)2()2(22yx，可知该圆的圆心为（2，2）、半径为23.进入文件“06湖南理10.zjz”第二页，点C是方程0104422yxyx所在圆的圆心.点P是圆C上的动点，OPCD与D，因此可以用直线OP表示方程0byax对应的直线l，其中.拖动点P，观察直线OP与圆C的位置关系，判断当圆C上至少有三个不同的点到直线OP的距离为22时直线OP所应满足的条件，如图5.1.13-5.1.16所示，为其中的几种情形.图5.1.13图5.1.14图5.1.15图5.1.16【思路点拨】将圆上的点到直线的距离转化成为圆心到直线的距离.【动态解析】令bak，则l的方程为：kxy.当直线OP在圆心C左上方时，若圆上正好有3个点到l的距离为22，如图5.1.13所示，则此时22223||CD.又因为22||OC，4xOC，所以在Rt△CDO中，6COD，所以125CODxOCxOD.当直线OP在圆心C的右下方时，若圆上正好有3个点到l的距离为22，如图5.1.14所示，则此时22223||CD.又因为22||OC，4xOC，所以在Rt△CDO中，6COD，所以12CODxOCxOD.因此当12512xOD时，如图5.1.15、图5.1.16所示，圆上有四个不同的点到l的距离为22.所以选择B.【简要评注】本题解答过程中要抓住两个关键：一、把圆上的点到直线的距离转化成为圆心到直线的距离；二、直线的特征：经过原点.3.直线与动圆的位置关系例3（09广东理B19）已知曲线2:Cyx与直线:20lxy交于两点(,)AAAxy和(,)BBBxy，且ABxx．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点(,)Pst是2:Cyx上一点，且点P与点A和点B均不重合．（I）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；（II）若曲线22251:24025Gxaxyya与D有公共点，试求a的最小值．（一）求点M的轨迹方程.这里Q是定点，P是曲线C上的动点，M是线段PQ的中点，M随P点而运动.既然曲线C是抛物线，可以猜测M的轨迹也是一条抛物线.至于它轨迹方程，就是求点M的坐标之间的关系.注意到P点的坐标满足曲线C的方程，而点M的坐标又可以通过P和Q点坐标来表示，因此这个轨迹方程不难求出.事实上：由,02,2yxxy解得：1Ax，2Bx；1Ay，4By，因为Q是线段AB的中点所以有)25,21(Q.又),(yxM为PQ的中点，所以有221sx，225ty.反解得214xs，254yt.因为点P在曲线C上，2st（21s）.将上式代入得2)214(254xy，化简得45)14(812xy.用表示点M的坐标，则有214xs，254yt，即2)214(254xy，化简得45)14(812xy.由21s，得4541x.所以点M的轨迹方程为：45)14(812xy（4541x），它表示一个抛物线弧段，如图5.1.17所示.图5.1.17（二）求a的最小值.【动感体验】很明显22251:24025Gxaxyya是一个圆的方程.可化为222)57()2()(yax，它表示一个半径为常数57而圆心为（a，2）的圆.随着a的变化，这是一个可以左右平行移动的圆..进入文件“09广东理B19.zjz”第二页，如图5.1.18所示，圆T表示方程0255142222ayyaxx对应的曲线.点T可以被拖动，水平移动圆T的位置.观察区域D与圆T有公共点的情况下，点T的横坐标a应满足的条件.图5.1.18【思路点拨】求圆与D有公共点时的a最小值，就是求圆与线段AB相切且位于线段左侧时的a的值.【动态解析】如图5.1.19所示，当圆T经过点A时，将A（-1，1）代入222)57()2()(yax解得：5621a或5621a（舍去）.图5.1.19当圆T与直线:20lxy相切时，由点到直线的距离公式得：572|22|a，解得：527a或527a（舍去）.此时切点坐标为（1027，10272），因为11027，所以切点在线段AB内.由此可知a的最小值为527a.【简要评注】本题中的动圆圆心在一条水平直线上移动，半径固定，因而比较容易了解圆与区域、圆与直线的位置关系.而最值是取在线段的端点的状态下还是圆与直线相切的条件下，这时本题重点要考察的内容.直观的演示可以帮助我们探索与发现问题，但只有从数学的角度进行推理和计算才能得到结论.4.求与圆有关的动态向量的数量积例4（08山东临沂）直线0CByAx与圆422yx相交于NM、两点，若222BAC，则ONOM（O为坐标原点）等于（）.A．2B．1C．0D．1【动感体验】圆422yx是圆心为坐标原点半径为2的圆，设OM和ON之间的夹角为，根据向量的数量积的定义cos4cos||||ONOMONOM，因此关键在于确定向量OM与ON之间的夹角的大小.由222BAC得到：1||22BAC，这说明原点O到直线0CByAx的距离等于1.因此可以将直线0CByAx看作是经过单位圆上一点并且与单位圆相切的动直线.打开文件“08山东临沂.zjz”，如图5.1.20所示，拖动点P，观察直线0CByAx与圆422yx两个交点NM、的变化规律.图5.1.20【思路点拨】分析条件222BAC的几何意义，研究与夹角有关的几何关系.【动态解析】因为直线0CByAx过点P且与单位圆相切，所以OP垂直且平分MN.在RtOPM中，1OP，2OM，所以3POM，32MON.图5.1.21所以232cos4cos4cos||||ONOMONOM.因此选择A.【简要评注】解决本题的关键在于在熟练掌握向量的数量积概念的前提下挖掘条件222BAC，从而确定直线0CByAx的特征以求出向量之间的夹角.5.与直线截距有关的不等关系例5（08全国I理10）若直线1xyab通过点(cossin)M，，则（）.A．221ab≤B．221ab≥C．22111ab≤D．22111ab≥【动感体验】由(cossin)M，想到单位圆，M是这个单位圆上的动点.条件直线1xyab通过点(cossin)M，实际上是说直线和单位圆有公共点，其中隐含圆心到直线的距离与单位圆的半径1的关系.打开文件“08全国I理10.zjz”，如图5.1.22所示，经过点M和点N的直线表示方程1xyab对应的直线，点P和点Q分别是直线与x轴、y轴的交点.拖动点N可以任意改变直线性质特征，研究四个选项所表示的几何意义以及成立的可能性.图5.1.22【思路点拨】在直角三角形POQ中考虑斜边上的高与单位圆半径之间的关系.【动态解析】图5.1.23和图5.1.24说明221ab≤和221ab≥两种情况都可能成立.图5.1.23图5.1.24当直线1xyab与圆O相切时，如图5.1.25所示，直角三角形POQ斜边上的高线等于圆O的半径1.图5.1.25图5.1.26而其他情况下，如图5.1.25所示，直角三角形POQ斜边上的高线小于圆O的半径1.通过面积公式可以求得直角三角形POQ斜边上的高等于22baba，由122baba化简得：11122ba.因此答案选择D.进入文件“08全国I理10.zjz”的第二页，如图5.1.27所示，则给出直线与单位圆没有公共点的情况，这时122babaOM，由此11122ba，即选项C表明的关系.图5.1.27【简要评注】本题中ba、为截距，恰好是直线与两坐标轴的交点及原点所构成的直角三角形的直角边长，因此设法在POQRt中找出22ba及2211ba的几何意义是