2020中考数学专题7——最值问题之垂线段最短-含答案

第1页共5页【模型解析】2020中考专题7——最值问题之垂线段最短班级姓名.如图，直线l外一点P与直线上的点的所有连线段中，PB线段长度最短．【例题分析】例1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是．例2.已知点D与点A(8，0)，B(0，6)，C(a，－a)是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为．例3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，经过点C且与边AB相切的动圆与CA．、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是．第2页共5页【巩固训练】1.如图1，已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P是AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连结EF，M为EF的中点，则CM的最小值为．图1图22.如图，线段AB的长为10，C为AB上的一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．3.如图，已知平行四边形OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．图3图44.在平面直角坐标系中，己知平行四边形ABCD的点A(0，－2)、点B(3m，4m＋1)(m≠－1)，点C(6，2)，则对角线BD的最小值是．5.如图5，等边△ABC的边长是2cm，将边AC沿射线BC的方向平移2cm，得到线段DE，连接AD、CE．(1)求证：四边形ACED是菱形；(2)将△ABC绕点C旋转，当CA′与DE交于一点M，CB′与AD交于一点N时，点M、N和点D构成△DMN，试探究△DMN的周长是否存在最小值？如果存在，求出该最小值；如果不存在，请说明理由．图5第3页共5页722020中考专题7——最值问题之垂线段最短参考答案例1.解：连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝1EF＝1AP，22∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，当AP⊥BC时，AP值最小，此时SBAC＝1×3×4＝1×5×AP，22∴AP＝12，即AP的范围是AP≥12，∴2AM≥12，∴AM的范围是AM≥6，5∵AP＜AC，∴AP＜4，∴AM5＜2，∴6555≤AM＜2．例1图例2图例2.解：有两种情况：①CD是平行四边形的一条边，那么有AB＝CD＝10②CD是平行四边形的一条对角线，设对角线交点为E，则CD=2CE,E为AB中点，易得E点坐标为（4,3）.因为C坐标为(a，－a)，所以易得C点在直线y=-x上。所以当CE垂直于直线y=-x时，CE最小，即CD最小。作CF∥y轴交直线y=-x于点F,则F(4，-4),所以EF=7，易得△CEF为等腰直角三角形，所以CE=,2所以CD的最小值为7例3.解：如图，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB＝90°，∴PQ是⊙F的直径，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FD⊥AB．∴FC＋FD＝PQ，∴CF＋FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值∴CD＝BC•AC÷AB＝4.8．AB2AC22△第4页共5页OE2BE2【巩固训练】1.解：如图，连接CP．∵AC＝3，BC＝4，AB＝5∴∠ACB＝90°，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF＝CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，则CM最小，此时，SABC＝1BCAC＝1ABCP，即1×4×3＝1×5CP，解得CP＝2.4．2222∴EF＝2.4，∵M为EF中点，∴CM＝1.22.解：设AC＝x，BC＝10﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD＝2x，CD′＝2(10﹣x)，22∵∠ACD＝45°，∠BCD′＝45°，∴∠DCE＝90°，∴DE2＝CD2＋CE2＝1x2＋122(10﹣x)2＝x2﹣10x＋50＝(x﹣5)2＋25，∴当x取5时，DE取最小值，最小值为：5，3.解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN＝∠NCM，∴∠OAF＝∠BCD，∵∠OFA＝∠BDC＝90°，∴∠FOA＝∠DBC，FOADBC在△OAF和△BCD中，OABC，∴△OAF≌△BCD．OAFBCD∴BD＝OF＝1，∴OE＝4＋1＝5，∴OB＝．由于OE的长不变，所以当BE最小时(即B点在x轴上)，OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5．△第5页共5页3292355334.解：如图，∵点B(3m，4m＋1)，∴令3nx，∴y＝4x＋1，∴B在直线y＝4x＋1上，∴当BD⊥直线y＝4x＋1时，BD最小，4m1y333∵平行四边形对角线交于一点，且AC的中点一定在x轴上，∴F是AC的中点，∵A(0，﹣2)，点C(6，2)，∴F(3，0)．设直线BF的解析式为y＝﹣3x＋b4，则﹣3×3＋4b＝0，解得b＝9，4则直线BF的解析式为y＝﹣3x＋9，44∴4m＋1＝﹣3×3m＋944，解得m＝15，∴B(35，9)，5∴BF＝＝3，∴BD＝2BF＝6，则对角线BD的最小值是6．5.证明：(1)由平移可得：AD∥CE，AD＝CE，∴四边形ACED是平行四边形，又∵AD＝2cm＝AC，∴□ACED是菱形；(2)连接CD，∵∠ACD＝∠B'CA'＝60°即∠ACN＋∠NCD＝∠NCD＋∠DCA'＝60°，∴∠ACN＝∠DCM，NACMDC在△ACN和△DCM中，ACCDACNDCM∴AN＝DM，同理，CN＝CM，，∴△ACN≌△DCM(ASA)，∵∠NCD＋∠DCM＝60°，∴△CMN是等边三角形，∴MN＝CN＝CM，则AN＋DN＝AD＝2．∴△DMN的周长即为DN＋DM＋MN＝AD＋CN，当CB′⊥AD时，(CN)最小＝，即△DMN的周长的最小值是2＋．